Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে (i) নং অনন্ত গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর: প্রদত্ত অনন্ত গুণোত্তর ধারাটি : [গণিত] অনন্ত গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, [গণিত] সাধারণ অনুপাত, [গণিত] ধারাটিতে অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অসীমতক সমষ্টি, [গণিত] নির্ণেয় শর্ত : [গণিত] এবং সমষ্টি [গণিত] (Ans.)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা · সৃজনশীল

এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে (i) নং অনন্ত গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্ট…

উদ্দীপক

(i) 1+\frac{1}{3 x-5}+\frac{1}{(3 x-5}^2}+\frac{1}{(3 x-5}^3}+\ldots \ldots \ldots (ii) 6+66+666+………6+66+666+\ldots \ldots \ldots

Chittagong · 2023

উত্তর

3.02˙=3.022222……3.0 \dot{2} =3.022222 \ldots \ldots =3+(0.02+0.002+0.0002+……)=3+(0.02+0.002+0.0002+\ldots \ldots) এখানে, বনধনীর অভ্যন্তরের ধারাটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা, যার ১ম পদ, a=0.02\mathrm{a}=0.02 এবং সাধারণ অনুপাত, r=0.0020.02=0.1<1r= \frac{0.002}{0.02}=0.1<1 ∴3.02˙=3+a1−r\therefore 3.0 \dot{2} =3+\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}} =3+0.021−0.1=3+\frac{0.02}{1-0.1} =3+0.020.9=3+\frac{0.02}{0.9} =3+290=3+\frac{2}{90} =13645=\frac{136}{45} ∴\therefore নির্ণেয় মূলদীয় ভগ্নাংশ 13645\frac{136}{45} (Ans.)

উত্তর

ধারাটি, 6 + 66 + 666 + ……...\ldots\ldots... মনে করি, S=6+66+666+\mathrm{S}=6+66+666+ ……...n\ldots\ldots... n পদ পর্যন্ত বা, S = 6 (1 + 11 + 111 + ……...n\ldots\ldots... n পদ পর্যন্ত) বা, S6=1+11+111+\frac{S}{6}=1+11+111+ ……...n\ldots\ldots... n পদ পর্যন্ত বা, 9 S6=9+99+999+\frac{9 \mathrm{~S}}{6}=9+99+999+ ……...n\ldots\ldots... n পদ পর্যন্ত বা, 9S6=(10−1)+(100−1)+(1000−1)+\frac{9 S}{6}=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+ ……...n\ldots\ldots... n পর্যন্ত বা, 9 S6=(10−1)+(102−1)+(103−1)+\frac{9 \mathrm{~S}}{6}=(10-1)+\left(10^2-1\right)+\left(10^3-1\right)+ ……...n\ldots\ldots... n পর্যন্ত বা, 9 S6=10+102+103+\frac{9 \mathrm{~S}}{6}=10+10^2+10^3+ ……...n\ldots\ldots... n পদ পর্যন্ত - n বা, 9 S6=10(1+10+102+\frac{9 \mathrm{~S}}{6}=10\left(1+10+10^2+\right. ……...\ldots\ldots... +10n−1)−n\left.+10^{\mathrm{n}-1}\right)-\mathrm{n} বা, S=609(1+10+102+S=\frac{60}{9}\left(1+10+10^2+\right. ……...\ldots\ldots... +10n−1)−6n9\left.+10^{n-1}\right)-\frac{6 n}{9} বা, S=609⋅10n−110−1−6n9S=\frac{60}{9} \cdot \frac{10^n-1}{10-1}-\frac{6 n}{9} বা, S=20(10n−1)27−2n3S=\frac{20\left(10^n-1\right)}{27}-\frac{2 n}{3} বা, S=23{109(10n−1)−n}S=\frac{2}{3}\left\{\frac{10}{9}\left(10^n-1\right)-n\right\} ∴\therefore ধারাটির ১ম n পদের সমষ্টি =23{109(10n−1)−n}=\frac{2}{3}\left\{\frac{10}{9}\left(10^{\mathrm{n}}-1\right)-\mathrm{n}\right\} (প্রমাণিত)

উত্তর

প্রদত্ত অনন্ত গুণোত্তর ধারাটি : 1+\frac{1}{3 x-5}+\frac{1}{(3 x-5}^2}+\frac{1}{(3 x-5}^3}+\ldots \ldots \ldots অনন্ত গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, p=1p = 1 সাধারণ অনুপাত, r=13x−51=13x−5r=\frac{\frac{1}{3 x-5}}{1}=\frac{1}{3 x-5} ধারাটিতে অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ∣r∣<1|\mathrm{r}|<1 হয় অর্থাৎ, ∣13x−5∣<1\left|\frac{1}{3 x-5}\right|<1 ∴−1<13x−5<1\therefore-1<\frac{1}{3 x-5}<1 হয়, −1<13x−5-1<\frac{1}{3 x-5} বা, −1>3x−5-1>3 x-5 বা, −1+5>3x-1+5>3 \mathrm{x} বা, 4>3x4>3 \mathrm{x} ∴x<43\therefore x<\frac{4}{3} অথবা, 13x−5<1\frac{1}{3 \mathrm{x}-5}<1 বা, 3x−5>13 x-5>1 বা, 3x>1+53 x>1+5 ∴x>2\therefore \mathrm{x}>2 ∴\therefore অসীমতক সমষ্টি, S∞=p1−r=11−13x−5S_{\infty}=\frac{p}{1-r} =\frac{1}{1-\frac{1}{3 x-5}} =13x−5−13x−5=3x−53x−6=\frac{1}{\frac{3 x-5-1}{3 x-5}}=\frac{3 x-5}{3 x-6} ∴\therefore নির্ণেয় শর্ত : x<43\mathrm{x}<\frac{4}{3} এবং x>2\mathrm{x}>2 এবং সমষ্টি 3x−53x−6\frac{3 \mathrm{x}-5}{3 \mathrm{x}-6} (Ans.)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৭ : অসীম ধারা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(a)=a+aa+aaa+f(\mathrm{a})=\mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a} \mathrm{a}+ …...\ldots... এবং g(b)=b+bc+bc2+bc3+g(b)=b+b c+b c^2+b c^3+ …….\ldots\ldots.
ক
1+2+3+4+5+1+2+3+4+5+ ………\ldots\ldots\ldots ধারাটির প্রথম 1000 পদের সর্মষ্টি নির্ণয় করো।
খ
f(8)f(8) ধারাটির প্রথম n তম পদের সমস্টি নির্ণয় করো।
গ
c=(12)2c=\left(\frac{1}{2}\right)^2 হলে, g(1)g(1) ধারাটির অসীমতক সমস্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত [গণিত] হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক স[গণিত] হলে, [গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি [গণিত] , ১ম পদ [গণিত] হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো[গণিত] . অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।0, 5, 0, 5, 0, 5, [গণিত] .. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।[গণিত] কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।[গণিত] . অনুক্রমটির [গণিত] তম পদ লেখ।একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ [গণিত] , অসীমতক সমষ্টি [গণিত] হলে, ধারাটির সাধারণ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন