Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

B ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল নির্ণয় করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, B= 2 + 22 + 222 + [গণিত] .. B ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল, [গণিত] তম পদ [গণিত] তম পদ) [গণিত] তম পদ) [গণিত] তম পদ) [গণিত] তম পদ ) [গণিত] -তম পদ) [গণিত] তম পদ [গণিত] ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল [গণিত] .

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা · সৃজনশীল

B ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল নির্ণয় করো।

উদ্দীপক

A=p+p2q+p3q2+……...A=p+p^2 q+p^3 q^2+\ldots\ldots... একটি গুণোত্তর ধারা এবং B=2+22+222+……….B=2+22+222+\ldots\ldots\ldots.

Jessore · 2022

উত্তর

এখানে, 5⋅1˙23˙=5⋅123123123=5+(0.123+0.000123+0.000000123+…..)\begin{aligned} 5 \cdot \dot{1} 2 \dot{3}= & 5 \cdot 123123123 \\ = & 5+(0.123+0.000123+0.000000123+\ldots . .)\end{aligned} বন্ধনীর ভিতরের অংশটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা যার প্রথম পদ a = 0.123 সাধারণ অনুপাত, r= 0.0001230.123=0.001<1\frac{0.000123}{0.123}=0.001<1 অर्थाए, 5.1˙23˙=5+a1−r5 . \dot{\mathrm{1}} 2\dot3 =5+\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}} =5+0.1231−0.001=5+0.1230.999=5+41333=1706333=541333.=5+\frac{0.123}{1-0.001}=5+\frac{0.123}{0.999}=5+\frac{41}{333}=\frac{1706}{333}=5 \frac{41}{333} . ∴5.1˙23˙=541333\therefore 5 . \dot{\mathrm{1}} 2\dot3 =5 \frac{41}{333}☺

উত্তর

দেওয়া আছে, A=p+p2q+p3q2+……\mathrm{A}=\mathrm{p}+\mathrm{p}^2 \mathrm{q}+\mathrm{p}^3 \mathrm{q}^2+\ldots \ldots p=(5x+1)−1=15x+1\mathrm{p}=(5 \mathrm{x}+1)^{-1}=\frac{1}{5 \mathrm{x}+1} এবং q=1\mathrm{q}=1 ∴ A=15x+1+(15x+1)2⋅1+(15x+1)3⋅12+…..\therefore \quad \mathrm{~A}=\frac{1}{5 \mathrm{x}+1}+\left(\frac{1}{5 \mathrm{x}+1}\right)^2 \cdot 1+\left(\frac{1}{5 \mathrm{x}+1}\right)^3 \cdot 1^2+\ldots . . =15x+1+1(5x+1)2+1(5x+1)3+……..=\frac{1}{5 \mathrm{x}+1}+\frac{1}{(5 \mathrm{x}+1)^2}+\frac{1}{(5 \mathrm{x}+1)^3}+\ldots \ldots . . প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a=15x+1\mathrm{a}=\frac{1}{5 \mathrm{x}+1} সাধারণ অনুপাত, r=\frac{\frac{1}{(5 x+1}^2}}{\frac{1}{5 x+1}}=\frac{1}{(5 x+1}^2} \times(5 x+1)=\frac{1}{5 x+1} এখন, উক্ত ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ∣r∣<1|r|<1 হয়। অর্থাৎ, −1<r<1-1<\mathrm{r}<1 বা, −1<15x+1<1-1<\frac{1}{5 x+1}<1 এখন, −1<15x+1-1<\frac{1}{5 \mathrm{x}+1} বা, −1>5x+1-1>5 \mathrm{x}+1 বা, 5x+1<−15 \mathrm{x}+1<-1 বা, 5x<−1−15 \mathrm{x}<-1-1 বা, 5x<−25 x<-2 বা, x<−25x<-\frac{2}{5} আবার, 15x+1<1\frac{1}{5 \mathrm{x}+1}<1 বা, 5x+1>15 \mathrm{x}+1>1 বা, 5x>1−15 \mathrm{x}>1-1 বা, 5x>05 x>0 বা, x>0x>0 অর্থাৎ, x<−25x<-\frac{2}{5} অথবা x>0x>0 শর্ত আরোপ করলে AA ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। ∴\therefore ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1−r\mathrm{S}_{\infty}=\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}} =15x+11−15x+1=15x+15x+1−15x+1=15x+15x5x+1=15x+1×5x+15x=15x\begin{aligned} & =\frac{\frac{1}{5 x+1}}{1-\frac{1}{5 x+1}}=\frac{\frac{1}{5 x+1}}{\frac{5 x+1-1}{5 x+1}}=\frac{\frac{1}{5 x+1}}{\frac{5 x}{5 x+1}} \\ & =\frac{1}{5 x+1} \times \frac{5 x+1}{5 x}=\frac{1}{5 x}\end{aligned} নির্ণেয় শর্ত : x<−25x<-\frac{2}{5} অথবা x>0x>0 এবং সমষ্টি =15x=\frac{1}{5 x}.

উত্তর

দেওয়া আছে, B= 2 + 22 + 222 +
……..B\ldots\ldots.. B
ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল, Sn=2+22+222+…………+n\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=2+22+222+\ldots \ldots \ldots \ldots+\mathrm{n} তম পদ =2(1+11+111+………+n=2(1+11+111+\ldots \ldots \ldots+\mathrm{n} তম পদ) =29(9+99+999+………+n=\frac{2}{9}(9+99+999+\ldots \ldots \ldots+\mathrm{n} তম পদ) =29{(10−1)+(100−1)+(1000−1)+…..+n=\frac{2}{9}\{(10-1)+(100-1)+(1000-1)+\ldots . .+\mathrm{n} তম পদ) =29{(10+100+1000+……..+n=\frac{2}{9}\{(10+100+1000+\ldots \ldots . .+\mathrm{n} তম পদ )−(1+1+1+……+n-(1+1+1+\ldots \ldots+\mathrm{n}-তম পদ) =29{(10+102+103+………+n=\frac{2}{9}\left\{\left(10+10^2+10^3+\ldots \ldots \ldots+\mathrm{n}\right.\right. তম পদ )−n}\left.)-\mathrm{n}\right\} =29{10(10n−1)10−1−n}=29{10(10n−1)9−n}=2081(10n−1)−2n9\begin{aligned} & =\frac{2}{9}\left\{\frac{10\left(10^n-1\right)}{10-1}-n\right\} \\ & =\frac{2}{9}\left\{\frac{10\left(10^n-1\right)}{9}-n\right\} \\ & =\frac{20}{81}\left(10^n-1\right)-\frac{2 n}{9}\end{aligned} ∴B\therefore \quad \mathrm{B} ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল =2081(10n−1)−2n9=\frac{20}{81}\left(10^{\mathrm{n}}-1\right)-\frac{2 \mathrm{n}}{9}.
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৭ : অসীম ধারা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(a)=a+aa+aaa+f(\mathrm{a})=\mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a} \mathrm{a}+ …...\ldots... এবং g(b)=b+bc+bc2+bc3+g(b)=b+b c+b c^2+b c^3+ …….\ldots\ldots.
ক
1+2+3+4+5+1+2+3+4+5+ ………\ldots\ldots\ldots ধারাটির প্রথম 1000 পদের সর্মষ্টি নির্ণয় করো।
খ
f(8)f(8) ধারাটির প্রথম n তম পদের সমস্টি নির্ণয় করো।
গ
c=(12)2c=\left(\frac{1}{2}\right)^2 হলে, g(1)g(1) ধারাটির অসীমতক সমস্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত [গণিত] হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক স[গণিত] হলে, [গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি [গণিত] , ১ম পদ [গণিত] হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো[গণিত] . অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।0, 5, 0, 5, 0, 5, [গণিত] .. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।[গণিত] কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।[গণিত] . অনুক্রমটির [গণিত] তম পদ লেখ।একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ [গণিত] , অসীমতক সমষ্টি [গণিত] হলে, ধারাটির সাধারণ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন