Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] ও [গণিত] যদি সমীকরণটির দুইটি মূল হয়, তবে প্রমাণ কর যে, [গণিত] এবং [গণিত] ।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ; [গণিত] আবার, যেহেতু সমীকরণটির দুটি মূল [গণিত] এবং [গণিত] এবং [গণিত] এখন, [গণিত] আবার, [গণিত] অতএব, [গণিত] এবং [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা · সৃজনশীল

ও যদি সমীকরণটির দুইটি মূল হয়, তবে প্রমাণ কর যে, এবং ।

উদ্দীপক

13x+2+1(3x+2)2+1(3x+2)3+…\frac{1}{3\mathrm{x}+2} + \frac{1}{(3\mathrm{x}+2)^2} + \frac{1}{(3\mathrm{x}+2)^3} + \ldots একটি অসীম গুণোত্তর ধারা এবং px2+qx+r=0\mathrm{px^2 + qx + r = 0} একটি এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ, যেখানে p,q,r\mathrm{p, q, r} বাস্তব সংখ্যা ও p≠0\mathrm{p \neq 0}।

Chittagong · 2017

উত্তর

প্রদত্ত ধারা, 13x+2+1(3x+2)2+1(3x+2)3+…\frac{1}{3\mathrm{x}+2} + \frac{1}{(3\mathrm{x}+2)^2} + \frac{1}{(3\mathrm{x}+2)^3} + \ldots x=1\mathrm{x} = 1 হলে ধারাটি, \frac{1}{3 \cdot 1+2} + \frac{1}{(3 \cdot 1+2}^2} + \frac{1}{(3 \cdot 1+2}^3} + \ldots =15+152+153+…= \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + \ldots (Ans.) সাধারণ অনুপাত =152÷15=15= \frac{1}{5^2} \div \frac{1}{5} = \frac{1}{5} (Ans.)

উত্তর

প্রদত্ত ধারার সাধারণ অনুপাত, r=1(3x+2)2÷13x+2=13x+2\mathrm{r} = \frac{1}{(3\mathrm{x}+2)^2} \div \frac{1}{3\mathrm{x}+2} = \frac{1}{3\mathrm{x}+2} এখন, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ও কেবল যদি ∣r∣<1|\mathrm{r}| < 1 বা, ∣13x+2∣<1\left|\frac{1}{3\mathrm{x}+2}\right| < 1 হয় অথাৎ −1<13x+2<1-1 < \frac{1}{3\mathrm{x}+2} < 1 ∴−1<13x+2\therefore -1 < \frac{1}{3\mathrm{x}+2} বা, −1>3x+2-1 > 3\mathrm{x}+2 বা, −1−2>3x+2−2-1-2 > 3\mathrm{x}+2-2 বা, −3>3x-3 > 3\mathrm{x} ∴x<−1\therefore \mathrm{x} < -1 অথবা, 13x+2<1\frac{1}{3\mathrm{x}+2} < 1 বা, 3x+2>13\mathrm{x}+2 > 1 বা, 3x+2−2>1−23\mathrm{x}+2-2 > 1-2 বা, 3x>−13\mathrm{x} > -1 ∴x>−13\therefore \mathrm{x} > -\frac{1}{3} ∴\therefore নির্ণেয় শর্ত: x<−1\mathrm{x} < -1 অথবা, x>−13\mathrm{x} > -\frac{1}{3} (Ans.) আবার, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1−r\mathrm{S_\infty} = \frac{\mathrm{a}}{1 - \mathrm{r}} =13x+21−13x+2= \frac{\frac{1}{3\mathrm{x}+2}}{1 - \frac{1}{3\mathrm{x}+2}} [∵a=13x+2]\left[\because \mathrm{a} = \frac{1}{3\mathrm{x}+2}\right] =13x+2×3x+23x+1= \frac{1}{3\mathrm{x}+2} \times \frac{3\mathrm{x}+2}{3\mathrm{x}+1} =13x+1= \frac{1}{3\mathrm{x}+1} (Ans.)

উত্তর

দেওয়া আছে, px2+qx+r=0\mathrm{px^2 + qx + r = 0}; p≠0\mathrm{p \neq 0} ∴x=−q±q2−4pr2p\therefore \mathrm{x} = \frac{-\mathrm{q} \pm \sqrt{\mathrm{q}^2 - 4\mathrm{pr}}}{2\mathrm{p}} =−q+q2−4pr2p,−q−q2−4pr2p= \frac{-\mathrm{q} + \sqrt{\mathrm{q}^2 - 4\mathrm{pr}}}{2\mathrm{p}}, \frac{-\mathrm{q} - \sqrt{\mathrm{q}^2 - 4\mathrm{pr}}}{2\mathrm{p}} আবার, যেহেতু সমীকরণটির দুটি মূল a\mathrm{a} এবং b\mathrm{b} ∴a=−q+q2−4pr2p\therefore \mathrm{a} = \frac{-\mathrm{q} + \sqrt{\mathrm{q}^2 - 4\mathrm{pr}}}{2\mathrm{p}} এবং b=−q−q2−4pr2p\mathrm{b} = \frac{-\mathrm{q} - \sqrt{\mathrm{q}^2 - 4\mathrm{pr}}}{2\mathrm{p}} এখন, a+b=−q+q2−4pr2p+−q−q2−4pr2p\mathrm{a + b} = \frac{-\mathrm{q} + \sqrt{\mathrm{q}^2 - 4\mathrm{pr}}}{2\mathrm{p}} + \frac{-\mathrm{q} - \sqrt{\mathrm{q}^2 - 4\mathrm{pr}}}{2\mathrm{p}} =−q+q2−4pr−q−q2−4pr2p=−2q2p= \frac{-\mathrm{q} + \sqrt{\mathrm{q}^2 - 4\mathrm{pr}} - \mathrm{q} - \sqrt{\mathrm{q}^2 - 4\mathrm{pr}}}{2\mathrm{p}} = \frac{-2\mathrm{q}}{2\mathrm{p}} ∴a+b=−qp\therefore \mathrm{a + b} = -\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}} আবার, ab=−q+q2−4pr2p⋅−q−q2−4pr2p\mathrm{ab} = \frac{-\mathrm{q} + \sqrt{\mathrm{q}^2 - 4\mathrm{pr}}}{2\mathrm{p}} \cdot \frac{-\mathrm{q} - \sqrt{\mathrm{q}^2 - 4\mathrm{pr}}}{2\mathrm{p}} =(−q)2−(q2−4pr)24p2= \frac{(-\mathrm{q})^2 - (\sqrt{\mathrm{q}^2 - 4\mathrm{pr}})^2}{4\mathrm{p}^2} =q2−(q2−4pr)4p2= \frac{\mathrm{q}^2 - (\mathrm{q}^2 - 4\mathrm{pr})}{4\mathrm{p}^2} =q2−q2+4pr4p2=4pr4p⋅p= \frac{\mathrm{q}^2 - \mathrm{q}^2 + 4\mathrm{pr}}{4\mathrm{p}^2} = \frac{4\mathrm{pr}}{4\mathrm{p} \cdot \mathrm{p}} ∴ab=rp\therefore \mathrm{ab} = \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}} অতএব, a+b=−qp\mathrm{a + b} = -\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}} এবং ab=rp\mathrm{ab} = \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}} (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৭ : অসীম ধারা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(a)=a+aa+aaa+f(\mathrm{a})=\mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a} \mathrm{a}+ …...\ldots... এবং g(b)=b+bc+bc2+bc3+g(b)=b+b c+b c^2+b c^3+ …….\ldots\ldots.
ক
1+2+3+4+5+1+2+3+4+5+ ………\ldots\ldots\ldots ধারাটির প্রথম 1000 পদের সর্মষ্টি নির্ণয় করো।
খ
f(8)f(8) ধারাটির প্রথম n তম পদের সমস্টি নির্ণয় করো।
গ
c=(12)2c=\left(\frac{1}{2}\right)^2 হলে, g(1)g(1) ধারাটির অসীমতক সমস্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত [গণিত] হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক স[গণিত] হলে, [গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি [গণিত] , ১ম পদ [গণিত] হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো[গণিত] . অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।0, 5, 0, 5, 0, 5, [গণিত] .. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।[গণিত] কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।[গণিত] . অনুক্রমটির [গণিত] তম পদ লেখ।একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ [গণিত] , অসীমতক সমষ্টি [গণিত] হলে, ধারাটির সাধারণ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন