Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকে উল্লিখিত বলদ্বয়ের সমতলে x দূরত্বের ব্যবধানে R মানের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল প্রয়োগ করা হলো। প্রমাণ কর যে, এদের লব্ধি [গণিত] দূরত্বে সরে যাবে।

উত্তর: [চিত্র] 'খ' অংশ হতে প্রাপ্ত, P. AC = Q. BC [গণিত] .(1) ধরি, R মানের দুইটি সমান অসদৃশ সমান্তরাল বল D ও E বিন্দুতে ক্রিয়ারত হলো। যেখানে DE = x ধরি, C ও D বিন্দুতে ক্রিয়ারত P+Q ও R মানের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি P+Q+R যা AB রেখার G বিন্দুতে ক্রিয়া করে। সুতরাং (P+Q. CG = R. DG [গণিত] .(2) এখন G ও E বিন্দুতে (P+Q+R) ও R মানের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি = (P+Q+R)-R = P+Q যা AB রেখার ০ বিন্দুতে ক্রিয়া করে। সুতরাং, (P+Q+R). GO = R. EO বা, (P+Q). GO (EO-GO). R বা, (P+Q). GO = EG.R [গণিত] .(3) এখন, (3)নং হতে (2)নং বিয়োগ করে পাই, (P+Q). (GO - CG) = (EG – DG). R বা, (P+Q). CO = DE. R বা, (P+Q). CO = x. R বা, [গণিত] অর্থাৎ, অসদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয়ের লব্ধি [গণিত] দূরত্বে সরে যাবে। (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 5: দ্বিপদী বিস্তৃতি ℹ️ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 5: দ্বিপদী বিস্তৃতি ℹ️ · সৃজনশীল

উদ্দীপকে উল্লিখিত বলদ্বয়ের সমতলে x দূরত্বের ব্যবধানে R মানের দুইটি …

উদ্দীপক

question image

Dinajpur · 2017

উত্তর

এখানে, 100 N ও 70 N মানের বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 62° বলদ্বয়ের লব্ধি R হলে, R=(100)2+(70)2+2×100×70×cos⁡62∘N=10000+4900+6572.601879 N=21472.60188 N\begin{aligned} \mathrm{R} & =\sqrt{(100)^2+(70)^2+2 \times 100 \times 70 \times \cos 62^{\circ}} \mathrm{N} \\ & =\sqrt{10000+4900+6572.601879} \mathrm{~N} \\ & =\sqrt{21472.60188} \mathrm{~N}\end{aligned} = 146-535 N (প্রায়) লব্ধি R প্রথম বলের সাথে ও কোণ উৎপন্ন করলে, θ=tan⁡−170×sin⁡62∘100+70×cos⁡62∘=tan⁡−161.8063315132.8630094\begin{aligned} \theta & =\tan^{-1} \frac{70 \times \sin 62^{\circ}}{100+70 \times \cos 62^{\circ}} \\ & =\tan^{-1} \frac{61.8063315}{132.8630094}\end{aligned} =tan⁡−1(0.465)=24.94∘=\tan^{-1}(0.465)=24.94^{\circ} (প্রায়) ∴ বল দুইটির লব্ধি 146-535 N (প্রায়) এবং লব্ধি প্রথম বলের সাথে 24-94° (প্রায়) কোণ উৎপন্ন করে।

উত্তর

question image মনে করি, A ও B বিন্দুতে যথাক্রমে ও বলন্বয় কার্যরত। এদের লম্পির ক্রিয়াবিন্দু C। ∴P⋅AC=Q⋅BC\therefore \quad P \cdot A C=Q \cdot B C বা, ACBC=QP\frac{A C}{B C}=\frac{Q}{P}
……(i)P\ldots\ldots(i) P
কে (R+ 3) পরিমাণ এবং Q কে (S+2) পরিমাণ বৃদ্ধি করলেও লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু C বিন্দুতে থাকে। ∴(P+R+3)⋅AC=(Q+S+2)⋅BC\therefore(\mathrm{P}+\mathrm{R}+3) \cdot \mathrm{AC}=(\mathrm{Q}+\mathrm{S}+2) \cdot \mathrm{BC} বা, ACBC=Q+S+2P+R+3\frac{A C}{B C}=\frac{Q+S+2}{P+R+3} ……(ii)\ldots\ldots(ii) আবার, P এর পরিবর্তে এবং এর পরিবর্তে (R+3) বল ক্রিয়া করলেও লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু C বিন্দুতে থাকে। ∴Q⋅AC=(R+3)⋅BC\therefore \quad Q \cdot A C=(R+3) \cdot B C বা, ACBC=R+3Q\frac{A C}{B C}=\frac{R+3}{Q}
……(iii)(i),(ii)\ldots\ldots(iii) (i), (ii)
ও (iii) নং সমীকরণ হতে পাই, QP=Q+S+2P+R+3=R+3Q\frac{Q}{P}=\frac{Q+S+2}{P+R+3}=\frac{R+3}{Q} ……(iv)\ldots\ldots(iv) ∴QP=Q+S+2P+R+3\therefore \quad \frac{Q}{P}=\frac{Q+S+2}{P+R+3} বা, QP=Q+S+2−QP+R+3−P=S+2R+3\frac{Q}{P}=\frac{Q+S+2-Q}{P+R+3-P}=\frac{S+2}{R+3} ∴QP=S+2R+3\therefore \quad \frac{Q}{P}=\frac{S+2}{R+3}
……(v)(iv)\ldots\ldots(v) (iv)
ও (v) নং সমীকরণ হতে পাই, QP=R+3Q=S+2R+3\frac{Q}{P}=\frac{R+3}{Q}=\frac{S+2}{R+3} বা, Q−R−3P−Q=R+3−S−2Q−R−3\frac{Q-R-3}{P-Q}=\frac{R+3-S-2}{Q-R-3} বা, Q−R−3P−Q=R−S+1Q−R−3\frac{Q-R-3}{P-Q}=\frac{R-S+1}{Q-R-3} বা, (P−Q)(R−S+1)=(Q−R−3)2(P-Q)(R-S+1)=(Q-R-3)^2 বা, R−S+1=(Q−R−3)2P−QR-S+1=\frac{(Q-R-3)^2}{P-Q} ∴R=S+(Q−R−3)2P−Q−1\therefore \quad R=S+\frac{(Q-R-3)^2}{P-Q}-1 (প্রমাণিত) [বি. দ্র. প্রশ্নে +1এর পরিবর্তে -1 হবে]

উত্তর

question image 'খ' অংশ হতে প্রাপ্ত, P. AC = Q. BC…….(1)\ldots\ldots.(1) ধরি, R মানের দুইটি সমান অসদৃশ সমান্তরাল বল D ও E বিন্দুতে ক্রিয়ারত হলো। যেখানে DE = x ধরি, C ও D বিন্দুতে ক্রিয়ারত P+Q ও R মানের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি P+Q+R যা AB রেখার G বিন্দুতে ক্রিয়া করে। সুতরাং (P+Q. CG = R. DG…….(2)\ldots\ldots.(2) এখন G ও E বিন্দুতে (P+Q+R) ও R মানের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি = (P+Q+R)-R = P+Q যা AB রেখার ০ বিন্দুতে ক্রিয়া করে। সুতরাং, (P+Q+R). GO = R. EO বা, (P+Q). GO (EO-GO). R বা, (P+Q). GO = EG.R…….(3)\ldots\ldots.(3) এখন, (3)নং হতে (2)নং বিয়োগ করে পাই, (P+Q). (GO - CG) = (EG – DG). R বা, (P+Q). CO = DE. R বা, (P+Q). CO = x. R বা, CO=xRP+Q\mathrm{CO}=\frac{\mathrm{xR}}{\mathrm{P}+\mathrm{Q}} অর্থাৎ, অসদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয়ের লব্ধি xRP+Q\frac{x R}{P+Q} দূরত্বে সরে যাবে। (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 5: দ্বিপদী বিস্তৃতি ℹ️
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.A−B=0A-B=0 হলে xx এর সমাধানের জন্য সাধারণ রাশিমালা বের কর।

A−B=0A-B=0 হলে xx এর সমাধানের জন্য সাধারণ রাশিমালা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্যাসকেলের ত্রিভুজ সূত্রের সাহায্যে বিস্তার করে দেখাও (য) (1−x)3=h(x)(1-x)^3=h(x).

প্যাসকেলের ত্রিভুজ সূত্রের সাহায্যে বিস্তার করে দেখাও (য) (1−x)3=h(x)(1-x)^3=h(x).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

(i) x4−10x3+35x˙2−46x+10=0x^4-10 x^3+35 \dot{x}^2-46 x+10=0 (ii) (3x2−q2x3)10\left(3 x^2-\frac{q}{2 x^3}\right)^{10}
ক
x2−px+4=0\mathrm{x}^2-\mathrm{px}+4=0 সমীকরণের p এর মান কত হলে মূলদ্বয় জটিল হবে?
খ
(i) এর সমীকরণটির ১টি মূল 3 −i হলে অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।
গ
(ii) এর বিস্তৃতিতে x5 এবং x10 এর সহগ সমান হলে' q এর মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.(i) এর সমীকরণটির ১টি মূল 3 −i হলে অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।

(i) এর সমীকরণটির ১টি মূল 3 −i হলে অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.x2−px+4=0\mathrm{x}^2-\mathrm{px}+4=0 সমীকরণের p এর মান কত হলে মূলদ্বয় জটিল হবে?

x2−px+4=0\mathrm{x}^2-\mathrm{px}+4=0 সমীকরণের p এর মান কত হলে মূলদ্বয় জটিল হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : ax2+bx−c=0\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}-\mathrm{c}=0 সমীকরণকটির মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta । দৃশ্যকল্প-২ : h(x)=x−1xh(x)=x-\frac{1}{x}.
ক
(1−4x)−14(1-4 x)^{-\frac{1}{4}} রাশিটি কোন ব্যবধিতে অভিসৃত তা নির্ণয় কর।
খ
1α+1βఆ1αβ\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} ఆ \frac{1}{\alpha \beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দেখাও যে, {h(x)}2n\{\mathrm{h}(\mathrm{x})\}^{2 \mathrm{n}} এর বিস্তৃতিতে' মধ্যপদ 1.3⋅5…..(2n−1)n!(−2)n\frac{1.3 \cdot 5 \ldots . .(2 n-1)}{n!}(-2)^n

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.1α+1βఆ1αβ\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} ఆ \frac{1}{\alpha \beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

1α+1βఆ1αβ\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} ఆ \frac{1}{\alpha \beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(1−4x)−14(1-4 x)^{-\frac{1}{4}} রাশিটি কোন ব্যবধিতে অভিসৃত তা নির্ণয় কর।

(1−4x)−14(1-4 x)^{-\frac{1}{4}} রাশিটি কোন ব্যবধিতে অভিসৃত তা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=(x−1x)2n[n∈N]⋅g(x)=(1+x)n(1+1x)q[p,q∈N]f(x)=\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2 n}[n \in N] \cdot g(x)=(1+x)^n\left(1+\frac{1}{x}\right)^q[p, q \in N]
ক
y=2x+3x2+4x3+……y=2 x+3 x^2+4 x^3+\ldots \ldots হলে, প্রমাণ কর যে,x=12y−38y2+516y3−……x=\frac{1}{2} y-\frac{3}{8} y^2+\frac{5}{16} y^3-\ldots \ldots
খ
প্রমাণ কর যে, f(x) এর বিস্তৃতির মধ্যপদ =1⋅3⋅5…..(2n−1)n!⋅(−2)n=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots . .(2 n-1)}{n!} \cdot(-2)^n
গ
g(x) এর বিস্তৃতি থেকে x বর্জিত পদটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.প্রমাণ কর যে, f(x) এর বিস্তৃতির মধ্যপদ =1⋅3⋅5…..(2n−1)n!⋅(−2)n=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots . .(2 n-1)}{n!} \cdot(-2)^n

প্রমাণ কর যে, f(x) এর বিস্তৃতির মধ্যপদ =1⋅3⋅5…..(2n−1)n!⋅(−2)n=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots . .(2 n-1)}{n!} \cdot(-2)^n

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.y=2x+3x2+4x3+……y=2 x+3 x^2+4 x^3+\ldots \ldots হলে, প্রমাণ কর যে,x=12y−38y2+516y3−……x=\frac{1}{2} y-\frac{3}{8} y^2+\frac{5}{16} y^3-\ldots \ldots

y=2x+3x2+4x3+……y=2 x+3 x^2+4 x^3+\ldots \ldots হলে, প্রমাণ কর যে,x=12y−38y2+516y3−……x=\frac{1}{2} y-\frac{3}{8} y^2+\frac{5}{16} y^3-\ldots \ldots

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ :x2−5x+3=0: x^2-5 x+3=0 এর মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta দৃশ্যকল্প-২: :1+x1−2x: \frac{1+\mathrm{x}}{\sqrt{1-2 \mathrm{x}}}

Jessore · 2017

ক
(3−2x)12(3-2 x)^{\frac{1}{2}} এর বিস্তৃতি x\mathrm{x} এর কোন মানের জন্য বৈধ?
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে 35−α\frac{3}{5-\alpha} ও 35−β\frac{3}{5-\beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় করো
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত রাাশিটর বির্তুতি হতে x3\mathrm{x^3} এর সহগ নির্ণয় করো

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] হলে [গণিত] এর সমাধানের জন্য সাধারণ রাশিমালা বের কর।প্যাসকেলের ত্রিভুজ সূত্রের সাহায্যে বিস্তার করে দেখাও (য) [গণিত] .(ii) এর বিস্তৃতিতে x5 এবং x10 এর সহগ সমান হলে' q এর মান নির্ণয় কর ।(i) এর সমীকরণটির ১টি মূল 3 −i হলে অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।[গণিত] সমীকরণের p এর মান কত হলে মূলদ্বয় জটিল হবে?দেখাও যে, [গণিত] এর বিস্তৃতিতে' মধ্যপদ [গণিত][গণিত] মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] রাশিটি কোন ব্যবধিতে অভিসৃত তা নির্ণয় কর।g(x) এর বিস্তৃতি থেকে x বর্জিত পদটি নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, f(x) এর বিস্তৃতির মধ্যপদ [গণিত][গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত রাাশিটর বির্তুতি হতে [গণিত] এর সহগ নির্ণয় করো

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন