প্রমাণ কর যে, f(x) এর বিস্তৃতির মধ্যপদ [গণিত]
উত্তর: দেওয়া आंছে, [গণিত] এখানে, ঘাত [গণিত] যা জোড় সংখ্যা ৷ অতএব, মধ্যপদ হবে একটি। [গণিত] এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ হবে [গণিত] তম বা [গণিত] - তম পদ। [গণিত] তম পদ [গণিত] এর বিস্তৃতির মধ্যপদ [গণিত] . (প্রমাণিত)
HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 5: দ্বিপদী বিস্তৃতি ℹ️ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 5: দ্বিপদী বিস্তৃতি ℹ️ · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে, f(x) এর বিস্তৃতির মধ্যপদ
উত্তর
দেওয়া आंছে,
এখানে, ঘাত যা জোড় সংখ্যা ৷
অতএব, মধ্যপদ হবে একটি।
এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ হবে তম বা - তম পদ।
তম পদ
\begin{aligned} & ={ }^{2 n} C_n x^n \frac{1}{x^n}(-1)^n={ }^{2 n} C_n(-1)^n=\frac{(2 n)!}{(n!}^2}(-1)^n \\ & =\frac{2 n(2 n-1)(2 n-2) \ldots 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(n!}^2}(-1)^n \\ & =\frac{\{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)\}(2.4 \cdot 6 \ldots \ldots 2 n)}{(n!)^2} \cdot(-1)^n \\ & =\frac{\{1.3 .5 \ldots . .(2 n-1)\}\{(2.1) \cdot(2 \cdot 2) \cdot(2 \cdot 3) \ldots .(2 \cdot n)\}}{(n!)^2}(-1)^n \\ & =\frac{\{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)\} \cdot 2^n n!}{(n!)^2}(-1)^n \\ & =\frac{1.3 .5 \ldots \ldots .(2 n-1)}{n!}(-2)^n\end{aligned}
এর বিস্তৃতির মধ্যপদ . (প্রমাণিত)