Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এর অসীম ধারাটির অভিসৃতি নির্ণয় করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, একটি ধারার সমন্টি [গণিত] ধারাটির [গণিত] তম পদ, [গণিত] এবং [গণিত] তম পদ, [গণিত] এখন, [গণিত] যেহেতু [গণিত] সুতরাং ধারাটি অভিসারি।

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 5: দ্বিপদী বিস্তৃতি ℹ️ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 5: দ্বিপদী বিস্তৃতি ℹ️ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এর অসীম ধারাটির অভিসৃতি নির্ণয় করো।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : (1+2x)2n(1+2 \mathrm{x})^{2 \mathrm{n}} দৃশ্যকল্প-২ : \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!n}{(n-1}!3^n}.

উত্তর

(42x2−13x+1)−1=142x2−13x+1\left(42 x^2-13 x+1\right)^{-1} =\frac{1}{42 x^2-13 x+1} =11−7x−6x+42x2=\frac{1}{1-7 x-6 x+42 x^2} =\frac{1}{1(1-7 x}-6 x(1-7 x)} =\frac{1}{(1-7 x}(1-6 x)}=\frac{7}{1-7 x}-\frac{6}{1-6 x} =7(1−7x)−1−6(1−6x)−1=7(1-7 x)^{-1}-6(1-6 x)^{-1} =7(1+7x+72x2+73x3+….+7rxr+….)=7\left(1+7 x+7^2 x^2+7^3 x^3+\ldots .+7^r x^r+\ldots .\right) −6(1+6x+62x2+63x3+….+6rxr+….)-6\left(1+6 x+6^2 x^2+6^3 x^3+\ldots .+6^r x^r+\ldots .\right) ∴ বিস্তৃতিতে xr\mathrm{x}^{\mathrm{r}} এর সহগ =7.7r−6.6r=7r+1−6r+1=7.7^{\mathrm{r}}-6.6^{\mathrm{r}}=7^{\mathrm{r}+1}-6^{\mathrm{r}+1}

উত্তর

প্রদত্ত বীজগাণিতিক রাশি =(1+2y)2n;n∈N=(1+2 \mathrm{y})^{2 \mathrm{n}} ; \mathrm{n} \in \mathrm{N}. এখানে, 2n একটি জোড় সংখ্যা। ∴(1+2x)2n\therefore \quad(1+2 x)^{2 n} এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ থাকবে একটি। মধ্যপদটি হরে (2n2+1)\left(\frac{2 n}{2}+1\right) তম বা (n+1)(n+1) তম পদ। ∴(n+1)\therefore(n+1) তম পদ =2nCn⋅(2x)n={ }^{2 n} C_n \cdot(2 x)^n =\frac{(2 n)!}{n!(2 n-n}!} 2^n y^n=\frac{(2 n)!}{n!n!} 2^n x^n =1.2⋅3.4⋅5⋅6……(2n−1)2nn!n!2nxn=\frac{1.2 \cdot 3.4 \cdot 5 \cdot 6 \ldots \ldots(2 n-1) 2 n}{n!n!} 2^n x^n ={1.3⋅5……(2n−1)}(2.4⋅6……..2n)n!n!2nxn=\frac{\{1.3 \cdot 5 \ldots \ldots(2 n-1)\}(2.4 \cdot 6 \ldots \ldots . .2 n)}{n!n!} 2^n x^n ={1.3.5…..(2n−1)}{(2.1)⋅(2.2)⋅(2.3)…..(2n)}n!n!2nxn=\frac{\{1.3 .5 \ldots . .(2 n-1)\}\{(2.1) \cdot(2.2) \cdot(2.3) \ldots . .(2 n)\}}{n!n!} 2^n x^n ={1.3.5……(2n−1)}2n(1.2.3……..n)n!n!2nxn=\frac{\{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)\} 2^n(1.2 .3 \ldots \ldots . . n)}{n!n!} 2^n x^n ={1.3.5……(2n−1)}.n!n!n!22nxn=\frac{\{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)\} . n!}{n!n!} 2^{2 n} x^n =1.3.5…….(2n−1)n!22nxn, যেখানে, n∈N=\frac{1.3 .5 \ldots \ldots .(2 n-1)}{n!} 2^{2 n} x^n, \text{ যেখানে, } n \in N. ∴\therefore রাশিটির বিষ্ণৃতিতে মধ্যপদের মান 1.3.5……(2n−1)n!22nxn\frac{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)}{n!} 2^{2 n} x^n. যেখানে, n∈Nn \in N. (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, একটি ধারার সমন্টি \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!n}{(n-1}!3^n} ধারাটির nn তম পদ, U_n=\frac{n!n}{(n-1}!3^n} এবং n+1n+1 তম পদ, U_{n+1} =\frac{(n+1)!(n+1)}{(n+1-1}!3^{n+1}} =(n+1)!(n+1)n!3n+1=\frac{(n+1)!(n+1)}{n!3^{n+1}} এখন, \frac{U_{n+1}}{U_n} =\frac{\frac{(n+1)!(n+1)}{n!3^{n+1}}}{\frac{n!n}{(n-1}!3^n}} =\frac{(n+1) n!(n+1)}{n!3^n \cdot 3} \times \frac{(n-1)!3^n}{n(n-1}!n} =(n+1)23n2=\frac{(n+1)^2}{3 n^2} ∴lim⁡n→∞Un+1Un=lim⁡n→∞(n+1)23n2\therefore \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^2}{3 n^2} =lim⁡n→∞n2(1+1n)23n2=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2\left(1+\frac{1}{n}\right)^2}{3 n^2} =lim⁡n→∞(1+1n)23=13<1=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2}{3}=\frac{1}{3}<1 যেহেতু lim⁡n→∞Un+1Un<1\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n}<1 সুতরাং ধারাটি অভিসারি।
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 5: দ্বিপদী বিস্তৃতি ℹ️
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.A−B=0A-B=0 হলে xx এর সমাধানের জন্য সাধারণ রাশিমালা বের কর।

A−B=0A-B=0 হলে xx এর সমাধানের জন্য সাধারণ রাশিমালা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্যাসকেলের ত্রিভুজ সূত্রের সাহায্যে বিস্তার করে দেখাও (য) (1−x)3=h(x)(1-x)^3=h(x).

প্যাসকেলের ত্রিভুজ সূত্রের সাহায্যে বিস্তার করে দেখাও (য) (1−x)3=h(x)(1-x)^3=h(x).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

(i) x4−10x3+35x˙2−46x+10=0x^4-10 x^3+35 \dot{x}^2-46 x+10=0 (ii) (3x2−q2x3)10\left(3 x^2-\frac{q}{2 x^3}\right)^{10}
ক
x2−px+4=0\mathrm{x}^2-\mathrm{px}+4=0 সমীকরণের p এর মান কত হলে মূলদ্বয় জটিল হবে?
খ
(i) এর সমীকরণটির ১টি মূল 3 −i হলে অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।
গ
(ii) এর বিস্তৃতিতে x5 এবং x10 এর সহগ সমান হলে' q এর মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.(i) এর সমীকরণটির ১টি মূল 3 −i হলে অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।

(i) এর সমীকরণটির ১টি মূল 3 −i হলে অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.x2−px+4=0\mathrm{x}^2-\mathrm{px}+4=0 সমীকরণের p এর মান কত হলে মূলদ্বয় জটিল হবে?

x2−px+4=0\mathrm{x}^2-\mathrm{px}+4=0 সমীকরণের p এর মান কত হলে মূলদ্বয় জটিল হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : ax2+bx−c=0\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}-\mathrm{c}=0 সমীকরণকটির মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta । দৃশ্যকল্প-২ : h(x)=x−1xh(x)=x-\frac{1}{x}.
ক
(1−4x)−14(1-4 x)^{-\frac{1}{4}} রাশিটি কোন ব্যবধিতে অভিসৃত তা নির্ণয় কর।
খ
1α+1βఆ1αβ\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} ఆ \frac{1}{\alpha \beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দেখাও যে, {h(x)}2n\{\mathrm{h}(\mathrm{x})\}^{2 \mathrm{n}} এর বিস্তৃতিতে' মধ্যপদ 1.3⋅5…..(2n−1)n!(−2)n\frac{1.3 \cdot 5 \ldots . .(2 n-1)}{n!}(-2)^n

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.1α+1βఆ1αβ\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} ఆ \frac{1}{\alpha \beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

1α+1βఆ1αβ\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} ఆ \frac{1}{\alpha \beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(1−4x)−14(1-4 x)^{-\frac{1}{4}} রাশিটি কোন ব্যবধিতে অভিসৃত তা নির্ণয় কর।

(1−4x)−14(1-4 x)^{-\frac{1}{4}} রাশিটি কোন ব্যবধিতে অভিসৃত তা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=(x−1x)2n[n∈N]⋅g(x)=(1+x)n(1+1x)q[p,q∈N]f(x)=\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2 n}[n \in N] \cdot g(x)=(1+x)^n\left(1+\frac{1}{x}\right)^q[p, q \in N]
ক
y=2x+3x2+4x3+……y=2 x+3 x^2+4 x^3+\ldots \ldots হলে, প্রমাণ কর যে,x=12y−38y2+516y3−……x=\frac{1}{2} y-\frac{3}{8} y^2+\frac{5}{16} y^3-\ldots \ldots
খ
প্রমাণ কর যে, f(x) এর বিস্তৃতির মধ্যপদ =1⋅3⋅5…..(2n−1)n!⋅(−2)n=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots . .(2 n-1)}{n!} \cdot(-2)^n
গ
g(x) এর বিস্তৃতি থেকে x বর্জিত পদটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.প্রমাণ কর যে, f(x) এর বিস্তৃতির মধ্যপদ =1⋅3⋅5…..(2n−1)n!⋅(−2)n=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots . .(2 n-1)}{n!} \cdot(-2)^n

প্রমাণ কর যে, f(x) এর বিস্তৃতির মধ্যপদ =1⋅3⋅5…..(2n−1)n!⋅(−2)n=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots . .(2 n-1)}{n!} \cdot(-2)^n

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.y=2x+3x2+4x3+……y=2 x+3 x^2+4 x^3+\ldots \ldots হলে, প্রমাণ কর যে,x=12y−38y2+516y3−……x=\frac{1}{2} y-\frac{3}{8} y^2+\frac{5}{16} y^3-\ldots \ldots

y=2x+3x2+4x3+……y=2 x+3 x^2+4 x^3+\ldots \ldots হলে, প্রমাণ কর যে,x=12y−38y2+516y3−……x=\frac{1}{2} y-\frac{3}{8} y^2+\frac{5}{16} y^3-\ldots \ldots

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ :x2−5x+3=0: x^2-5 x+3=0 এর মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta দৃশ্যকল্প-২: :1+x1−2x: \frac{1+\mathrm{x}}{\sqrt{1-2 \mathrm{x}}}

Jessore · 2017

ক
(3−2x)12(3-2 x)^{\frac{1}{2}} এর বিস্তৃতি x\mathrm{x} এর কোন মানের জন্য বৈধ?
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে 35−α\frac{3}{5-\alpha} ও 35−β\frac{3}{5-\beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় করো
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত রাাশিটর বির্তুতি হতে x3\mathrm{x^3} এর সহগ নির্ণয় করো

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] হলে [গণিত] এর সমাধানের জন্য সাধারণ রাশিমালা বের কর।প্যাসকেলের ত্রিভুজ সূত্রের সাহায্যে বিস্তার করে দেখাও (য) [গণিত] .(ii) এর বিস্তৃতিতে x5 এবং x10 এর সহগ সমান হলে' q এর মান নির্ণয় কর ।(i) এর সমীকরণটির ১টি মূল 3 −i হলে অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।[গণিত] সমীকরণের p এর মান কত হলে মূলদ্বয় জটিল হবে?দেখাও যে, [গণিত] এর বিস্তৃতিতে' মধ্যপদ [গণিত][গণিত] মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] রাশিটি কোন ব্যবধিতে অভিসৃত তা নির্ণয় কর।g(x) এর বিস্তৃতি থেকে x বর্জিত পদটি নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, f(x) এর বিস্তৃতির মধ্যপদ [গণিত][গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত রাাশিটর বির্তুতি হতে [গণিত] এর সহগ নির্ণয় করো

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন