Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] নির্ণেয় যোজিত ফল : [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

[গণিত] নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : g(x)=cot⁡−1(x−1),f(x)=xg(x)=\cot^{-1}(x-1), f(x)=x

Mymensingh · 2021

উত্তর

∫dx25x2−36\int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{25 \mathrm{x}^{2}-36}} =∫dx25(x2−3625)= \int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{25\left(\mathrm{x}^{2}-\frac{36}{25}\right)}} =15∫dxx2−(65)2= \frac{1}{5} \int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{\mathrm{x}^{2}-\left(\frac{6}{5}\right)^{2}}} =15ln⁡∣x+x2−(65)2∣+c= \frac{1}{5} \ln \left|\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}-\left(\frac{6}{5}\right)^{2}}\right|+\mathrm{c} [∵∫dxx2−a2=ln⁡∣x+x2−a2∣+c]{\left[\because \int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{2}}}=\ln \left|\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{2}}\right|+\mathrm{c}\right] } =15ln⁡∣x+25x2−365∣+c=\frac{1}{5} \ln \left|\mathrm{x}+\frac{\sqrt{25 \mathrm{x}^{2}-36}}{5}\right|+\mathrm{c} নির্ণেয় যোজিত ফল: 15ln⁡∣x+25x2−365∣+c\frac{1}{5} \ln \left|x+\frac{\sqrt{25 x^{2}-36}}{5}\right|+c.

উত্তর

f(x)=x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x} এবং g(x)=cot⁡−1(x−1)\mathrm{g}(\mathrm{x})=\cot^{-1}(\mathrm{x}-1) ∴∫f(x)g(x)dx=∫xcot⁡−1(x−1)\therefore \int \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{g}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}=\int \mathrm{x} \cot^{-1}(\mathrm{x}-1) =cot⁡−1(x−1)∫xdx−∫{ddxcot⁡−1(x−1)∫xdx}dx=\cot^{-1}(\mathrm{x}-1) \int \mathrm{x} d \mathrm{x}-\int\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \cot^{-1}(\mathrm{x}-1) \int \mathrm{xdx}\right\} \mathrm{dx} =cot⁡−1(x−1)x22−=\cot^{-1}(\mathrm{x}-1) \frac{\mathrm{x}^{2}}{2}- ∫−11+(x−1)2⋅ddx(x−1)⋅x22dx\int \frac{-1}{1+(\mathrm{x}-1)^{2}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\mathrm{x}-1) \cdot \frac{\mathrm{x}^{2}}{2} \mathrm{dx} =x22cot⁡−1(x−1)+∫−11+x2−2x+1⋅x22dx=\frac{\mathrm{x}^{2}}{2} \cot^{-1}(\mathrm{x}-1)+\int \frac{-1}{1+\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+1} \cdot \frac{\mathrm{x}^{2}}{2} \mathrm{dx} =x22cot⁡−1(x−1)+12∫x2x2−2x+2dx=\frac{\mathrm{x}^{2}}{2} \cot^{-1}(\mathrm{x}-1)+\frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+2} \mathrm{dx} =x22cot⁡−1(x−1)+12∫(x2−2x+x)2x−2x2−2x+2dx=\frac{\mathrm{x}^{2}}{2} \cot^{-1}(\mathrm{x}-1)+\frac{1}{2} \int \frac{\left(\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+\mathrm{x}\right) 2 \mathrm{x}-2}{\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+2} \mathrm{dx} =x22cot⁡−1(x−1)+12∫(1+2x−2x2−2x+2)dx=\frac{\mathrm{x}^{2}}{2} \cot^{-1}(\mathrm{x}-1)+\frac{1}{2} \int\left(1+\frac{2 \mathrm{x}-2}{\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+2}\right) \mathrm{dx} =x22cot⁡−1(x−1)+12x+12ln⁡∣x2−2x+2∣+c=\frac{\mathrm{x}^{2}}{2} \cot^{-1}(\mathrm{x}-1)+\frac{1}{2^{\mathrm{x}}}+\frac{1}{2} \ln \left|\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+2\right|+\mathrm{c} [∵∫f(x)f(x)dx=ln⁡∣f(x)∣]{\left[\because \int \frac{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{f}(\mathrm{x})} \mathrm{dx}=\ln |\mathrm{f}(\mathrm{x})|\right]} নির্ণেয় যোজিত ফল : =x22cot⁡−1(x−1)+12x+12ln⁡∣x2−2x+2∣+c=\frac{x^{2}}{2} \cot^{-1}(x-1)+\frac{1}{2^{x}}+\frac{1}{2} \ln \left|x^{2}-2 x+2\right|+c

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=xf(x)=x ∴∫f(x){f(x)−1}{f(x2)+1}dx\therefore \int \frac{f(x)}{\{f(x)-1\}\left\{f\left(x^{2}\right)+1\right\}} d x =\int \frac{x}{(x-1}\left(x^{2}+1\right)} d x =\int \frac{(x-1)+1}{(x-1}\left(x^{2}+1\right)} d x =\int\left(\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{(x-1}\left(x^{2}+1\right)}\right) d x =\tan^{-1} x+\int \frac{1}{(x-1}\left(x^{2}+1\right)} d x =tan⁡−1x+12∫{1(x−1)−x+1x2+1}dx=\tan^{-1} x+\frac{1}{2} \int\left\{\frac{1}{(x-1)}-\frac{x+1}{x^{2}+1}\right\} d x =tan⁡−1x+12∫dxx−1−12∫x+1x2+1dx=\tan^{-1} x+\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x-1}-\frac{1}{2} \int \frac{x+1}{x^{2}+1} d x =tan⁡−1x+12ln⁡∣x−1∣−12∫x+1x2+1dx=\tan^{-1} x+\frac{1}{2} \ln |x-1|-\frac{1}{2} \int \frac{x+1}{x^{2}+1} d x =tan⁡−1x+12ln⁡∣x−1∣−12∫xx2+1dx−12∫1x2+1dx=\tan^{-1} x+\frac{1}{2} \ln |x-1|-\frac{1}{2} \int \frac{x}{x^{2}+1} d x- \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}+1} d x =tan⁡−1x+12ln⁡∣x−1∣−14∫2xx2+1dx−12tan⁡−1x=\tan^{-1} x+\frac{1}{2} \ln |x-1|-\frac{1}{4} \int \frac{2 x}{x^{2}+1} d x- \frac{1}{2} \tan^{-1} x =12tan⁡−1x+12ln⁡∣x−1∣−14ln⁡∣x2+1∣+c=\frac{1}{2} \tan^{-1} x+\frac{1}{2} \ln |x-1|-\frac{1}{4} \ln \left|x^{2}+1\right|+c নির্ণেয় যোজিত ফল : 12tan⁡−1x+12ln⁡∣x−1∣−14ln⁡∣x2+1∣+c\frac{1}{2} \tan^{-1} x+\frac{1}{2} \ln |x-1|-\frac{1}{4} \ln \left|x^{2}+1\right|+c
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন