Chapter 10: যোগজীকরণ Higher Math 1st Paper

Barisal · 2017

ক

$\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}}$ নির্ণয় কর।

উত্তর

$\begin{aligned} & \int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}}=\int \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{x}} \mathrm{dx}}{\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}+1} \quad \text{ ধরি, } \mathrm{e}^{-\mathrm{x}}+1=\mathrm{z} \\ & =\int \frac{-\mathrm{dz}}{\mathrm{z}} \\ & \therefore-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}} \mathrm{dx}=\mathrm{dz} \\ & =-\ln Z+\mathrm{c} \\ & =-\ln \left(\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}+1\right)+\mathrm{c} \text{ (Ans.) } \\ & \end{aligned}$

খ

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) $\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta$; $\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta$

উত্তর

(i) $\begin{aligned} & \int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta \\ &= \int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\sin \theta} \mathrm{d} \theta \\ &= \int_0^{\pi / 2} \sqrt{\sin^2 \frac{\theta}{2}+\cos^2 \frac{\theta}{2}+2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} \mathrm{~d} \theta \\ &= \int_0^{\pi / 2} \sqrt{\left(\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}\right)^2} \mathrm{~d} \theta \\ &=\int_0^{\pi / 2}\left(\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}\right) d \theta \\ &=\left.-\frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\frac{1}{2}}+\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\frac{1}{2}}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &=-2 \cos \frac{\pi}{4}+2 \sin \frac{\pi}{4}+2 \cos 0-2 \sin 0 \\ &=-2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+2-0 \\ &= 2(\text{ Ans. })\end{aligned}$ ধরি, $\mathrm{z}=\sin \theta$ $\therefore \mathrm{dz}=\cos \theta \mathrm{d} \theta$ $\begin{aligned} & \text{ (ii) } \int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta \\ & =\int_0^{\pi / 2} \cos^3 \theta \sqrt[3]{\sin \theta} d \theta \\ & =\int_0^{\pi / 2}\left(1-\sin^2 \theta\right) \sqrt[3]{\sin \theta} \cdot \cos \theta d \theta \\ & =\int_0^1\left(1-z^2\right) z^{\frac{1}{3}} d z \\ & =\int_0^1\left(z^{\frac{1}{3}}-z^{\frac{7}{3}}\right) d z\end{aligned}$ $\begin{aligned} & =\left[\frac{z^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}-\frac{z^{\frac{7}{3}}+1}{\frac{7}{3}+1}\right]_0^1 \\ & =\left[\frac{3}{4} \cdot z^{\frac{4}{3}}-\frac{3}{10} z^{\frac{10}{3}}\right]_0^1 \\ & =\frac{3}{4}-\frac{3}{10}-0+0 \\ & =\frac{15-6}{20}=\frac{9}{20} \text{ (Ans.) }\end{aligned}$

গ

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $=4 \times\left(y=\sqrt{36-x^2}, x\right.$ অক্ষ এবং কোটি $x=0$ ও $x=6$ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুত্রের ক্ষেত্রফল) ধরি, $x=6 \sin \theta$ $\therefore d x=6 \cos \theta d \theta$ এবং $\theta=\sin^{-1} \frac{x}{6}$ $\begin{aligned} & =4 \int_0^6 y d x \\ & =4 \int_0^6 \sqrt{36-x^2} d x \\ & =4 \int_0^{\pi / 2} \sqrt{36-36 \sin^2 \theta} \cdot 6 \cos \theta \mathrm{d} \theta \\ & =144 \int_0^{\pi / 2} \sqrt{\cos^2 \theta} \cos \theta \mathrm{d} \theta \\ & =144 \int_0^{\pi / 2} \cos^2 \theta \mathrm{d} \theta \\ & =72 \int_0^{\pi / 2} 2 \cos^2 \theta \mathrm{d} \theta \\ & =72 \int_0^{\pi / 2}(1+\cos 2 \theta) \mathrm{d} \theta \\ & =72\left[\theta+\frac{1}{2} \sin 2 \theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ & =72\left[\frac{\pi}{2}+0-0\right] \end{aligned}$ $=36 \pi$ বগ একক। (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

$\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2$ এবং $g(x)=\sin^6 x$

Sylhet · 2017

ক

$\int \frac{x d x}{(x-1)}$ নির্ণয় কর।

উত্তর

$\begin{gathered}\int \frac{x d x}{x-1}=\int \frac{x-1+1}{x-1} d x=\int\left(1+\frac{1}{x-1}\right) d x \\ =x+\ln |x-1|+c \text{ (Ans.) }\end{gathered}$

খ

(i) $\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x$ এর মান নির্ণয় কর। (ii) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x$ এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর

\begin{aligned} & \text{ (i) } \int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x=\int_0^2(x-2) \tan^{-1}(x-2) d x \\ & \quad \therefore \int(x-2) \tan^{-1}(x-2) d x \\ & =\tan^{-1}(x-2) \int(x-2) d x-\left[\frac{d}{d x} \tan^{-1}(x-2) \mathrm{o}(x-2) d x\right] d x \\ & =\left(\frac{x^2}{2}-2 x\right) \tan^{-1}(x-2)-\int \frac{1}{1+(x-2}^2} \cdot 1 \cdot\left(\frac{x^2}{2}-2 x\right) d x \\ & =\frac{1}{2}\left(x^2-4 x\right) \tan^{-1}(x-2)-\frac{1}{2} \int \frac{x^2-4 x}{x^2-4 x+5} d x \\ & =\frac{1}{2}\left(x^2-4 x\right) \tan^{-1}(x-2)-\frac{1}{2} \int \frac{x^2-4 x+5-5}{x^2-4 x+5} d x \\ & =\frac{1}{2}\left(x^2-4 x\right) \tan^{-1}(x-2)-\frac{1}{2} \int\left(1-\frac{5}{(x-2}^2+1^2}\right) d x \\ & =\frac{1}{2}\left(x^2-4 x\right) \tan^{-1}(x-2)-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \cdot 5 \tan^{-1}(x-2)+c \\ & =\frac{1}{2}\left\{\left(x^2-4 x+5\right) \tan^{-1}(x-2)-x\right\}+c \\ & \therefore \int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x \\ & =\frac{1}{2}\left[\left(x^2-4 x+5\right) \tan^{-1}(x-2)-x\right]_0^2 \\ & =\frac{1}{2}\left[\left\{\left(2^2-4 \times 2+5\right) \tan^{-1}(2-2)-2\right\}\right. \\ & \left.-\left\{\left(0^2-4.0+5\right) \tan^{-1}(0-2)-0\right\}\right] \\ & =\frac{1}{2}\left\{0-2-5 \tan^{-1}(-2)\right\}\end{aligned} $=-1-\frac{5}{2} \tan^{-1}(-2) \text{ (Ans.) }$ (ii) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x$ $=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^6 \mathrm{x} \cos \mathrm{xdx}\left[<\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sin^6 \mathrm{x}\right]$ $=\int_0^1 z^6 d z \quad$ ধরি, $\sin x=z$ $\therefore \cos \mathrm{xdx}=\mathrm{dz}$ $=\left[\frac{z^7}{7}\right]_0^1$ $=\frac{1}{7}(1-0)$ $=\frac{1}{7} \text{ (Ans.) }$

গ

$\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0$ ও $\mathrm{f}(\mathrm{x})=0$ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর

$9 x^2+16 y^2-144=0$ বা, $\frac{9 x^2}{144}+\frac{16 y^2}{144}=1 \quad$ বা, $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ বা, $\frac{y^2}{9}=1-\frac{x^2}{16} \therefore y= \pm \frac{3}{4} \sqrt{16-x^2}$ এবং $\mathrm{f}(\mathrm{x})=0$ বা, $x-2=0$ $\therefore \mathrm{x}=2$ $\mathrm{y}=0$ হলে (i) নং হতে পাই, $\frac{\mathrm{x}^2}{16}=1$ $\therefore \mathrm{x}= \pm 4$ আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল $=2 \int_2^4 \frac{3}{4} \sqrt{4^2-x^2} \mathrm{dx} \quad$ [x-অক্ষের উপরে y ধনাত্মক] $=\frac{3}{2}\left[\frac{x}{2} \sqrt{16-x^2}+\frac{16}{2} \sin^{-1} \frac{x}{4}\right]_2^4$ $=\frac{3}{2}\left[\left(0+8 \times \frac{\pi}{2}\right)-\left(\sqrt{12}+8 \times \frac{\pi}{6}\right)\right]$ $=\frac{3}{2}\left(4 \pi-\frac{4 \pi}{3}-\sqrt{12}\right)$ $=\frac{3}{2}\left(\frac{8 \pi}{3}-\sqrt{12}\right)$ বর্গ একক (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো