Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর: [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] [চিত্র] [গণিত] হলে (i) নং হতে পাই, [গণিত] আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] [x-অক্ষের উপরে y ধনাত্মক] [গণিত] বর্গ একক (Ans.)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

ও দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

উত্তর

∫xdxx−1=∫x−1+1x−1dx=∫(1+1x−1)dx=x+ln⁡∣x−1∣+c (Ans.) \begin{gathered}\int \frac{x d x}{x-1}=\int \frac{x-1+1}{x-1} d x=\int\left(1+\frac{1}{x-1}\right) d x \\ =x+\ln |x-1|+c \text{ (Ans.) }\end{gathered}

উত্তর

\begin{aligned} & \text{ (i) } \int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x=\int_0^2(x-2) \tan^{-1}(x-2) d x \\ & \quad \therefore \int(x-2) \tan^{-1}(x-2) d x \\ & =\tan^{-1}(x-2) \int(x-2) d x-\left[\frac{d}{d x} \tan^{-1}(x-2) \mathrm{o}(x-2) d x\right] d x \\ & =\left(\frac{x^2}{2}-2 x\right) \tan^{-1}(x-2)-\int \frac{1}{1+(x-2}^2} \cdot 1 \cdot\left(\frac{x^2}{2}-2 x\right) d x \\ & =\frac{1}{2}\left(x^2-4 x\right) \tan^{-1}(x-2)-\frac{1}{2} \int \frac{x^2-4 x}{x^2-4 x+5} d x \\ & =\frac{1}{2}\left(x^2-4 x\right) \tan^{-1}(x-2)-\frac{1}{2} \int \frac{x^2-4 x+5-5}{x^2-4 x+5} d x \\ & =\frac{1}{2}\left(x^2-4 x\right) \tan^{-1}(x-2)-\frac{1}{2} \int\left(1-\frac{5}{(x-2}^2+1^2}\right) d x \\ & =\frac{1}{2}\left(x^2-4 x\right) \tan^{-1}(x-2)-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \cdot 5 \tan^{-1}(x-2)+c \\ & =\frac{1}{2}\left\{\left(x^2-4 x+5\right) \tan^{-1}(x-2)-x\right\}+c \\ & \therefore \int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x \\ & =\frac{1}{2}\left[\left(x^2-4 x+5\right) \tan^{-1}(x-2)-x\right]_0^2 \\ & =\frac{1}{2}\left[\left\{\left(2^2-4 \times 2+5\right) \tan^{-1}(2-2)-2\right\}\right. \\ & \left.-\left\{\left(0^2-4.0+5\right) \tan^{-1}(0-2)-0\right\}\right] \\ & =\frac{1}{2}\left\{0-2-5 \tan^{-1}(-2)\right\}\end{aligned} =−1−52tan⁡−1(−2) (Ans.) =-1-\frac{5}{2} \tan^{-1}(-2) \text{ (Ans.) } (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x =∫0π2sin⁡6xcos⁡xdx[<g(x)=sin⁡6x]=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^6 \mathrm{x} \cos \mathrm{xdx}\left[<\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sin^6 \mathrm{x}\right] =∫01z6dz=\int_0^1 z^6 d z \quad ধরি, sin⁡x=z\sin x=z ∴cos⁡xdx=dz\therefore \cos \mathrm{xdx}=\mathrm{dz} question image =[z77]01=\left[\frac{z^7}{7}\right]_0^1 =17(1−0)=\frac{1}{7}(1-0) =17 (Ans.) =\frac{1}{7} \text{ (Ans.) }

উত্তর

9x2+16y2−144=09 x^2+16 y^2-144=0 বা, 9x2144+16y2144=1\frac{9 x^2}{144}+\frac{16 y^2}{144}=1 \quad বা, x216+y29=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 বা, y29=1−x216∴y=±3416−x2\frac{y^2}{9}=1-\frac{x^2}{16} \therefore y= \pm \frac{3}{4} \sqrt{16-x^2} এবং f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 বা, x−2=0x-2=0 ∴x=2\therefore \mathrm{x}=2 question image y=0\mathrm{y}=0 হলে (i) নং হতে পাই, x216=1\frac{\mathrm{x}^2}{16}=1 ∴x=±4\therefore \mathrm{x}= \pm 4 আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল =2∫243442−x2dx=2 \int_2^4 \frac{3}{4} \sqrt{4^2-x^2} \mathrm{dx} \quad [x-অক্ষের উপরে y ধনাত্মক] =32[x216−x2+162sin⁡−1x4]24=\frac{3}{2}\left[\frac{x}{2} \sqrt{16-x^2}+\frac{16}{2} \sin^{-1} \frac{x}{4}\right]_2^4 =32[(0+8×π2)−(12+8×π6)]=\frac{3}{2}\left[\left(0+8 \times \frac{\pi}{2}\right)-\left(\sqrt{12}+8 \times \frac{\pi}{6}\right)\right] =32(4π−4π3−12)=\frac{3}{2}\left(4 \pi-\frac{4 \pi}{3}-\sqrt{12}\right) =32(8π3−12)=\frac{3}{2}\left(\frac{8 \pi}{3}-\sqrt{12}\right) বর্গ একক (Ans.)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

u=ex এবং 4x2+9y2=36\mathrm{u}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \text{ এবং } 4 \mathrm{x}^2+9 \mathrm{y}^2=36

Comilla · 2017

ক
দেখাও যে, ∫ln⁡xdx=xln⁡x−x+C\int \ln x d x=x \ln x-x+C
খ
∫0ln⁡2u1+udx\int_0^{\ln 2} \frac{\mathrm{u}}{1+\mathrm{u}} \mathrm{dx} এর মান নির্ণয় কর।
গ
যোগজীকরণের সাহায্যে প্রদত্ত উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।যোগজীকরণের সাহায্যে প্রদত্ত উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন