Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর, .

উদ্দীপক

f(x)=sin⁡x−cos⁡xf(x)=\sin x-\cos x g(x)=x4g(x)=x^{4}

Rajshahi · 2021

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡x−cos⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x} ∴∫{f(x)}2dx\therefore \int\{\mathrm{f}(\mathrm{x})\}^{2} \mathrm{dx} =∫(sin⁡x−cos⁡x)2dx=\int(\sin x-\cos x)^{2} d x =∫(sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡x⋅cos⁡x)dx=\int\left(\sin^{2} \mathrm{x}+\cos^{2} \mathrm{x}-2 \sin \mathrm{x} \cdot \cos \mathrm{x}\right) \mathrm{dx} =∫(1−sin⁡2x)dx=\int(1-\sin 2 \mathrm{x}) \mathrm{dx} =∫dx−∫sin⁡2xdx=x+cos⁡2x2+c=\int \mathrm{dx}-\int \sin 2 \mathrm{xdx}=\mathrm{x}+\frac{\cos 2 \mathrm{x}}{2}+\mathrm{c} নির্ণেয় যোজিত ফল : x+cos⁡2x2+cx+\frac{\cos 2 x}{2}+c.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡x−cos⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x} ধরি, I=∫1−f(x)1+f(x)dx\mathrm{I}=\int \frac{1-\mathrm{f}(\mathrm{x})}{1+\mathrm{f}(\mathrm{x})} \mathrm{dx} =∫1−(sin⁡x−cos⁡x)1+(sin⁡x−cos⁡x)dx=∫1−sin⁡x+cos⁡x1+sin⁡x−cos⁡xdx\begin{aligned}& =\int \frac{1-(\sin x-\cos x)}{1+(\sin x-\cos x)} d x \\& =\int \frac{1-\sin x+\cos x}{1+\sin x-\cos x} d x\end{aligned} এখন, 1−sin⁡x+cos⁡x=l(1+sin⁡x−cos⁡x)+mddx(1+sin⁡x−cos⁡x)+n1-\sin x+\cos x=l(1+\sin x-\cos x)+m \frac{d}{d x}(1+\sin x-\cos x)+n =l(1+sin⁡x−cos⁡x)+m(cos⁡x+sin⁡x)+n……..(i)=l(1+\sin x-\cos x)+m(\cos x+\sin x)+n\ldots\ldots.. (i). =(1+n)+(1+m)sin⁡x+(−1+m)cos⁡x=(1+n)+(1+m) \sin x+(-1+m) \cos x. উভয়পক্ষ হতে sin⁡x,cos⁡x\sin x, \cos x ও ধ্রুব পদ সমীকৃত করে পাই, 1+n=1……...(ii)1+n=1\ldots\ldots... (ii) 1+m=−1……..(iii)1+m=-1\ldots\ldots.. (iii) −1+m=1-1+m=1 ……...(iv)\ldots\ldots... (iv) এখন, (iii) + (iv) হতে, 2 m=0⇒m=02 \mathrm{~m}=0 \Rightarrow \mathrm{m}=0 m=0\mathrm{m}=0 হলে, (iii) হতে, 1=−11=-1 1=−11=-1 হলে, (ii) হতে, n=2\mathrm{n}=2 (i) নং হতে পাই, I−sin⁡x+cos⁡x=−1(1+sin⁡x−cos⁡x)+0+2∴I=∫−1(1+sin⁡x−cos⁡x)+21+sin⁡x−cos⁡xdx=−∫dx+2∫11+sin⁡x−cos⁡xdx=−x+2I1\begin{aligned}& I-\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}=-1(1+\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x})+0+2 \\& \therefore I=\int \frac{-1(1+\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x})+2}{1+\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}} \mathrm{dx} \\& =-\int \mathrm{dx}+2 \int \frac{1}{1+\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}} \mathrm{dx} \\& =-\mathrm{x}+2 \mathrm{I}_{1}\end{aligned} যেখানে, I1=∫11+sin⁡x−cos⁡xdx\mathrm{I}_{1}=\int \frac{1}{1+\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}} \mathrm{dx} =∫11+2tan⁡x21+tan⁡2x2−1−tan⁡2x21+tan⁡2x2dx=\int \frac{1}{1+\frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1+\tan^{2} \frac{x}{2}}-\frac{1-\tan^{2} \frac{x}{2}}{1+\tan^{2} \frac{x}{2}}} d x =∫1+tan⁡2x21+tan⁡2x2+2tan⁡x2−1+tan⁡2x2dx=\int \frac{1+\tan^{2} \frac{x}{2}}{1+\tan^{2} \frac{x}{2}+2 \tan \frac{x}{2}-1+\tan^{2} \frac{x}{2}} d x =∫sec⁡2x22tan⁡2x2+2tan⁡x2dx=\int \frac{\sec^{2} \frac{x}{2}}{2 \tan^{2} \frac{x}{2}+2 \tan \frac{x}{2}} d x =∫2dy2y2+2y=\int \frac{2 d y}{2 y^{2}+2 y} ধরি, tan⁡x2=y\tan \frac{x}{2}=y বা, 12sec⁡2x2dx=dy\frac{1}{2} \sec^{2} \frac{x}{2} d x=d y বা, sec⁡2x2dx=2dy\sec^{2} \frac{x}{2} d x=2 d y =∫1y(y+1)dy=∫(1y−1y+1)dy=\int \frac{1}{\mathrm{y}(\mathrm{y}+1)} \mathrm{dy}=\int\left(\frac{1}{\mathrm{y}}-\frac{1}{\mathrm{y}+1}\right) \mathrm{dy} =ln⁡y−ln⁡(y+1)+c=\ln \mathrm{y}-\ln (\mathrm{y}+1)+\mathrm{c} =ln⁡yy+1+c=ln⁡tan⁡x21+tan⁡x2+c=\ln \frac{y}{y+1}+c=\ln \frac{\tan \frac{x}{2}}{1+\tan \frac{x}{2}}+c ∴I=−x+2ln⁡tan⁡x21+tan⁡x2+c\therefore \mathrm{I}=-\mathrm{x}+2 \ln \frac{\tan \frac{\mathrm{x}}{2}}{1+\tan \frac{\mathrm{x}}{2}}+\mathrm{c} নির্ণেয় যোজিত ফল : −x+2ln⁡tan⁡x21+tan⁡x2+c-x+2 \ln \frac{\tan \frac{x}{2}}{1+\tan \frac{x}{2}}+c.

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x4\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{4} ∴g(cos⁡θ)=cos⁡4θ\therefore \mathrm{g}(\cos \theta)=\cos^{4} \theta এখন, ∫0π4g(cos⁡θ)dθ=∫0π4cos⁡4θdθ\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} g(\cos \theta) \mathrm{d} \theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^{4} \theta \mathrm{d} \theta =14∫0π4(2cos⁡2θ)2 dθ=14∫0π4(1+cos⁡2θ)2 dθ=\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(2 \cos^{2} \theta\right)^{2} \mathrm{~d} \theta=\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\cos 2 \theta)^{2} \mathrm{~d} \theta =14∫0π4(1+2cos⁡2θ+cos⁡22θ)dθ=\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(1+2 \cos 2 \theta+\cos^{2} 2 \theta\right) \mathrm{d} \theta =14[θ+2sin⁡2θ2]0−π4+14.2∫0π42cos⁡22θdθ=\frac{1}{4}\left[\theta+2 \frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_{0}^{-\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{4.2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos^{2} 2 \theta \mathrm{d} \theta =14[(π4+sin⁡π2)−0]+18∫0π4(1+cos⁡4θ)dθ=\frac{1}{4}\left[\left(\frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{2}\right)-0\right]+\frac{1}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\cos 4 \theta) \mathrm{d} \theta =π16+14+18[θ+sin⁡4θ4]0−π4=\frac{\pi}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\left[\theta+\frac{\sin 4 \theta}{4}\right]_{0}^{-\frac{\pi}{4}} =π16+14+18[(π4+sin⁡π4)−0]=\frac{\pi}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\left[\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\sin \pi}{4}\right)-0\right] =π16+14+π32+0=3π32+14=\frac{\pi}{16}+\frac{1}{4}+\frac{\pi}{32}+0=\frac{3 \pi}{32}+\frac{1}{4} ∴∫0π4 g(cos⁡θ)dθ=3π32+14\therefore \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~g}(\cos \theta) \mathrm{d} \theta=\frac{3 \pi}{32}+\frac{1}{4} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন