Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ক্যালকুলাসের সাহায্যে 4 Q(x) 2 + 9 Q(y) 2 = 36 বক্ররেখাটির দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখানে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এক-চতুর্থাংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] ধরি, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [চিত্র] [গণিত] মোট আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক [গণিত] বর্গ একক [গণিত] বর্গ একক (Ans.)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

ক্যালকুলাসের সাহায্যে 4 Q(x) 2 + 9 Q(y) 2 = 36 বক্ররেখাটির দ্বারা আ…

উদ্দীপক

P(x)=4x+3,Q(x)=x\mathrm{P}(x)=4 x+3, \mathrm{Q}(x)=x.।

Barisal · 2021

উত্তর

lim⁡x→01−cos⁡xx\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x} =lim⁡x→01−cos⁡2⋅x2x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 \cdot \frac{x}{2}}{x} =lim⁡x→02sin⁡2⋅x2x[1−cos⁡2x=2sin⁡2x]=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^{2} \cdot \frac{x}{2}}{x} \quad\left[1-\cos 2 x=2 \sin^{2} x\right] =lim⁡x→02sin⁡2x24⋅(x2)2⋅x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}{4 \cdot\left(\frac{x}{2}\right)^{2}} \cdot x =lim⁡x→0sin⁡2x22(x2)2⋅x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^{2} \frac{x}{2}}{2\left(\frac{x}{2}\right)^{2}} \cdot x =12⋅x2→lim⁡(sin⁡x2x2)2×lim⁡x→0x=\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} \rightarrow \frac{\lim }{}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^{2} \times \lim_{x \rightarrow 0} x =12⋅1⋅0=0=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0=0 (Ans)

উত্তর

P(x)=4x+3P(x)=4x+3 ∴∫dx(2x+1)P(x)=∫dx(2x+1)4x+3\therefore \int \frac{\mathrm{d} x}{(2 x+1) \sqrt{\mathrm{P}(x)}}=\int \frac{\mathrm{d} x}{(2 x+1) \sqrt{4 x+3}} ধরি, 4x+3=Z2…(i)4 x+3=Z^2 \ldots (i) বা, ddz(4x+3)=ddz(z2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z}(4 x+3)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z}\left(z^{2}\right) বা, 4dx dz=2z4 \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} z}=2 z বা, 4 dx=2z dz4 \mathrm{~d} x=2 z \mathrm{~d} z বা, 2 dx=z dz2 \mathrm{~d} x=z \mathrm{~d} z ∴dx=z dz2……\therefore \mathrm{d} x=\frac{z \mathrm{~d} z}{2} \quad \ldots \ldots... (ii) এখন, 4x+3=z24 x+3=z^{2} বা, 4x=z2−34 x=z^{2}-3 বা, 2x=z2−322 x=\frac{z^{2}-3}{2} বা, 2x+1=z2−32+12 x+1=\frac{z^{2}-3}{2}+1 বা, 2x+1=z2−3+222 x+1=\frac{z^{2}-3+2}{2} ∴2x+1=z2−12………(iii)\therefore 2 x+1=\frac{z^{2}-1}{2} \ldots \ldots \ldots (iii) ∴∫dx(2x+1)4x+3=∫z dz2z2−12⋅z2\therefore \int \frac{\mathrm{d} x}{(2 x+1) \sqrt{4 x+3}}=\int \frac{\frac{z \mathrm{~d} z}{2}}{\frac{z^{2}-1}{2} \cdot \sqrt{z^{2}}} =∫z dz2(z2−1)z2=\int \frac{\frac{z \mathrm{~d} z}{2}}{\frac{\left(z^{2}-1\right) z}{2}} =∫z dz2□2z(z2−1)=\int \frac{z \mathrm{~d} z}{2} \square \frac{2}{z\left(z^{2}-1\right)} =∫dzz2−1=\int \frac{\mathrm{d} z}{z^{2}-1} =∫dzz2−12=\int \frac{\mathrm{d} z}{z^{2}-1^{2}} =12′1ln⁡∣z−1z+1∣+c=\frac{1}{2^{\prime} 1} \ln \left|\frac{z-1}{z+1}\right|+\mathrm{c} =12ln⁡∣4x+3−14x+3+1∣+c=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\sqrt{4 x+3}-1}{\sqrt{4 x+3}+1}\right|+c [Ans.]

উত্তর

দেওয়া আছে, Q(x)=x\mathrm{Q}(x)=x এখানে, 4{Q(x)}2+9{Q(y)}2=36\quad 4\{\mathrm{Q}(x)\}^{2}+9\{\mathrm{Q}(y)\}^{2}=36 বা, 4x2+9y2=36…(1)4 x^{2}+9 y^{2}=36 \ldots (1) বা, 4x236+9y236=3636\frac{4 x^{2}}{36}+\frac{9 y^{2}}{36}=\frac{36}{36} বা, x29+y24=1\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 বা, y24=1−x29\frac{y^{2}}{4}=1-\frac{x^{2}}{9} বা, y24=9−x29\frac{y^{2}}{4}=\frac{9-x^{2}}{9} বা, y2=49(9−x2)y^{2}=\frac{4}{9}\left(9-x^{2}\right) বা, y=±49(9−x2)y= \pm \sqrt{\frac{4}{9}\left(9-x^{2}\right)} বা, y=±23(9−x2)y= \pm \frac{2}{3} \sqrt{\left(9-x^{2}\right)} ∴y=239−x2\therefore y=\frac{2}{3} \sqrt{9-x^{2}} ∴\therefore এক-চতুর্থাংশের ক্ষেত্রফল =∫03y dx=\int_{0}^{3} y \mathrm{~d} x =23∫039−x2 dx=\frac{2}{3} \int_{0}^{3} \sqrt{9-x^{2}} \mathrm{~d} x =239−(3sin⁡θ)2⋅3cos⁡θdθ=\frac{2}{3} \sqrt{9-(3 \sin \theta)^{2}} \cdot 3 \cos \theta d \theta =239−9sin⁡2θ⋅3cos⁡θdθ=\frac{2}{3} \sqrt{9-9 \sin^{2} \theta} \cdot 3 \cos \theta d \theta =239(1−sin⁡2θ)⋅3cos⁡θdθ=\frac{2}{3} \sqrt{9\left(1-\sin^{2} \theta\right)} \cdot 3 \cos \theta d \theta ধরি, x=3sin⁡θx=3 \sin \theta বা, dx dθ=ddθ(3sin⁡θ)\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} \theta}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}(3 \sin \theta) বা, dx dθ=3cos⁡θ\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} \theta}=3 \cos \theta ∴dx=3cos⁡dθ\therefore \mathrm{d} x=3 \cos \mathrm{d} \theta question image =23⋅31−sin⁡2θ⋅3cos⁡θdθ=\frac{2}{3} \cdot 3 \sqrt{1-\sin^{2} \theta} \cdot 3 \cos \theta d \theta =2⋅3cos⁡2θ⋅cos⁡θdθ=2 \cdot 3 \sqrt{\cos^{2} \theta} \cdot \cos \theta d \theta =6cos⁡θ⋅cos⁡θdθ=6 \cos \theta \cdot \cos \theta d \theta =6cos⁡2θdθ=6 \cos^{2} \theta d \theta =6⋅122cos⁡2θdθ=6 \cdot \frac{1}{2} 2 \cos^{2} \theta d \theta =3(1+cos⁡2θ)dθ=3(1+\cos 2 \theta) d \theta =3 dθ+3cos⁡2θdθ=3 \mathrm{~d} \theta+3 \cos 2 \theta d \theta =3[θ]0π2+3[sin⁡2θ2]0π2=3[\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+3\left[\frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =3(π2−0)+32(sin⁡2⋅π2−sin⁡2.0)=3\left(\frac{\pi}{2}-0\right)+\frac{3}{2}\left(\sin 2 \cdot \frac{\pi}{2}-\sin 2.0\right) =3π2+32(sin⁡π−sin⁡0)=\frac{3 \pi}{2}+\frac{3}{2}(\sin \pi-\sin 0) =3π2+32(0−0)=\frac{3 \pi}{2}+\frac{3}{2}(0-0) =3π2+0=\frac{3 \pi}{2}+0 =3π2=\frac{3 \pi}{2} মোট আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =4×OAB=4 \times \mathrm{OAB} বর্গ একক =4×32π=4 \times \frac{3}{2} \pi বর্গ একক =6π=6 \pi বর্গ একক (Ans.)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
ক্যালকুলাসের সাহায্যে 4 Q(x) 2 + 9 Q(y) 2 = 36 বক্ররেখাটির দ্বারা আ… | Prosthuti