Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-১ : এ উল্লিখিত ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং, [গণিত] (1) নং এ [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] এখানে, [গণিত] ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক। নির্ণেয় ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-১ : এ উল্লিখিত ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২ : h(x)=\frac{1}{x(x-1}^{2}\left(x^{2}+1\right)}

Dinajpur · 2021

উত্তর

∫01dx1−x2=[sin⁡−1x]01\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=[ \left.\sin^{-1} x\right]_{0}^{1} =(sin⁡−11−sin⁡−10)=\left(\sin^{-1} 1-\sin^{-1} 0\right) =π2−0=π2=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2} নির্ণেয় মানঃ π2\frac{\pi}{2}

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=\frac{1}{x(x-1}^{2}\left(x^{2}+1\right)} ধরি, \frac{1}{x(x-1}^{2}\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+ \frac{C}{(x-1}^{2}}+\frac{D x+E}{x^{2}+1} \ldots\ldots (1) ⇒1=A(x−1)2(x2+1)+\Rightarrow 1=A(x-1)^{2}\left(x^{2}+1\right)+ Bx(x−1)(x2+1)+Cx(x2+1)+B x(x-1)\left(x^{2}+1\right)+C x\left(x^{2}+1\right)+ (Dx+E)x(x−1)2……(2)(D x+E) x(x-1)^{2} \ldots\ldots (2) (2) নং এ x=0x=0 বসিয়ে, 1=A⋅1⋅1+0+0+01=A \cdot 1 \cdot 1+0+0+0 ⇒A=1\Rightarrow A=1 (2) নং  x=1~ x=1 বসিয়ে, 1=0+0+C.2+01=0+0+C.2+0 ⇒C=12\Rightarrow C=\frac{1}{2} (2) নং এ x4,x3,x23xx^{4}, x^{3}, x^{2} 3 x এর সহগ সমীকৃত করে পাই, 0=A+B+D−−−(3)0=A+B+D---(3) 0=−2A−B+C−2D+E…...(4)0=-2 A-B+C-2 D+E \ldots... (4) 0=2A+B+D−2E−−−(5)0=2 A+B+D-2 E---(5) এবং 0=−2A−B+C+E−−−(6)0=-2 A-B+C+E---(6) (5) নং এA+B+D=0এ A+\mathrm{B}+\mathrm{D}=0 বসিয়ে, 0=A+0−2E0=A+0-2 E ⇒2E=A\Rightarrow 2 E=A ⇒E=A2=12[∵A=1]\Rightarrow E=\frac{A}{2}=\frac{1}{2}[\because A=1] (6) নং এ A,C,EA, C, E এর মান বসিয়ে, 0=−2.1−B+12+120=-2.1-B+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} ⇒B=−2+1=−1\Rightarrow B=-2+1=-1 (5) নং এ A,B,EA, B, E এর মান বসিয়ে, 0=2.1−1+D−2120=2.1-1+D-2 \frac{1}{2} ⇒0=2−1+D−1\Rightarrow 0=2-1+D-1 ⇒D=0\Rightarrow D=0 ∴A=1,B=−1,C=12D,E=12\therefore A=1, B=-1, C=\frac{1}{2} D, E=\frac{1}{2} \therefore h(x)=\frac{1}{x(x-1}^{2}\left(x^{2}+1\right)} =\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2(x-1}^{2}}+\frac{1}{2\left(x^{2}+1\right)} ∴∫h(x)dx=∫1xdx−∫dxx−1+\therefore \int h(x) d x=\int \frac{1}{x} d x-\int \frac{d x}{x-1}+ \int \frac{d x}{2(x-1}^{2}}+\int \frac{d x}{2\left(x^{2}-1\right)} =ln⁡∣x∣−ln⁡∣x−1∣+12(x−1)−2+1−2+1+=\ln |x|-\ln |x-1|+\frac{\frac{1}{2}(x-1)^{-2+1}}{-2+1}+ 12tan⁡−1x+c\frac{1}{2} \tan^{-1} x+c =ln⁡∣xx−1∣−12(x−1)+12tan⁡−1x+c=\ln \left|\frac{x}{x-1}\right|-\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2} \tan^{-1} x+c নির্ণেয় সমাকলিত ফলঃ ln⁡∣xx−1∣−12(x−1)+12tan⁡−1x+c\ln \left|\frac{x}{x-1}\right|-\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2} \tan^{-1} x+c

উত্তর

দেওয়া আছে, y2=2x−−−(1)y^{2}=2 x---(1) এবং, y=x−−−(2)y=x---(2) (1) নং এ y=xy=x বসিয়ে পাই, x2=2xx^{2}=2 x ⇒x2−2x=0\Rightarrow x^{2}-2 x=0 ⇒x(x−2)=0\Rightarrow x(x-2)=0 ∴x=0,x=2\therefore x=0, x=2 এখানে, y12=2xy_{1}^{2}=2 x ⇒y1=±2x\Rightarrow y_{1}= \pm \sqrt{2} \sqrt{x} y2=xy_{2}=x ∴\therefore ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল =∫02(y1−y2)dx=\int_{0}^{2}\left(y_{1}-y_{2}\right) d x =∫02(2x−x)dx=\int_{0}^{2}(\sqrt{2} \sqrt{x}-x) d x =[2x3232−x22]02=\left[\sqrt{2} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} =(2⋅23⋅232−222)−0=\left(\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}-\frac{2^{2}}{2}\right)-0 =4.23−2=\frac{4.2}{3}-2 =8−63=\frac{8-6}{3} =23=\frac{2}{3} বর্গ একক। নির্ণেয় ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল −3\frac{-}{3} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন