Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে উদ্দীপকে প্রদত্ত বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল বের কর।

উত্তর: [গণিত] (i) নং [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] অর্থাৎ উপবৃত্তটি x-অক্ষকে [গণিত] ও [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করে। [চিত্র] আবার, [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] উপবৃত্তটি [গণিত] -অক্ষকে [গণিত] ও [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করে। উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ধরি, [গণিত] যখন [গণিত] , তখন [গণিত] এবং যখন [গণিত] , তখন [গণিত] বগ একক (Ans.)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

হলে উদ্দীপকে প্রদত্ত বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষে…

উদ্দীপক

g(z)=mzsin⁡−1z\mathrm{g}(\mathrm{z})=\mathrm{mz} \sin^{-1} \mathrm{z} একটি ফাংশন এবং x2 b2+y2a2=1\frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{~b}^2}+\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{a}^2}=1 একটি বক্রররেখা।

Dinajpur · 2017

উত্তর

ধরি, ln⁡z=x\ln \mathrm{z}=\mathrm{x} ∴1zdz=dx\therefore \frac{1}{\mathrm{z}} \mathrm{dz}=\mathrm{dx} question image ∫121zcos⁡(ln⁡z)dz=∫0ln⁡2cos⁡xdx=[sin⁡x]0ln⁡2=sin⁡(ln⁡2)−sin⁡0=sin⁡(ln⁡2)( Ans.) \begin{aligned} & \int_1^2 \frac{1}{z} \cos (\ln z) d z \\ & =\int_0^{\ln 2} \cos x d x \\ & =[\sin x]_0^{\ln 2} \\ & =\sin (\ln 2)-\sin 0 \\ & =\sin (\ln 2)(\text{ Ans.) }\end{aligned}

উত্তর

∫g(x)dx=∫mxsin⁡−1xdx[<g(z)=mzsin⁡−1z]\int g(x) d x=\int m x \sin^{-1} x d x\left[<g(z)=m z \sin^{-1} z\right] এখন, ∫xsin⁡−1xdx\int x \sin^{-1} x d x =sin⁡−1x∫xdx−∫{ddx(sin⁡−1x)∫xdx}dx=\sin^{-1} x \int x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}\left(\sin^{-1} x\right) \int x d x\right\} d x =sin⁡−1x⋅x22−∫11−x2⋅x22dx=\sin^{-1} x \cdot \frac{x^2}{2}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{x^2}{2} d x =x22sin⁡−1x−12∫x21−x2dx=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} d x =x22sin⁡−1x−12I[I=∫x21−x2dx=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{2} I \quad [I=\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} d x ধরে ধরি, x=sin⁡θx=\sin \theta বা, θ=sin⁡−1x\theta=\sin^{-1} \mathrm{x} ∴dx=cos⁡θdθ\therefore \mathrm{dx}=\cos \theta \mathrm{d} \theta এখন, I=∫x21−x2dx\mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{x}^2}{\sqrt{1-\mathrm{x}^2}} \mathrm{dx} =∫sin⁡2θ1−sin⁡2θ⋅cos⁡θdθ=\int \frac{\sin^2 \theta}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} \cdot \cos \theta \mathrm{d} \theta =∫sin⁡2θdθ=\int \sin^2 \theta \mathrm{d} \theta =∫12(1−cos⁡2θ)dθ=\int \frac{1}{2}(1-\cos 2 \theta) d \theta =12(θ−12sin⁡2θ)=\frac{1}{2}\left(\theta-\frac{1}{2} \sin 2 \theta\right) =12(sin⁡−1x−12⋅2sin⁡θcos⁡θ)=\frac{1}{2}\left(\sin^{-1} x-\frac{1}{2} \cdot 2 \sin \theta \cos \theta\right) ∴I=12sin⁡−1x−12x1−x2\therefore \mathrm{I}=\frac{1}{2} \sin^{-1} \mathrm{x}-\frac{1}{2} \mathrm{x} \sqrt{1-\mathrm{x}^2} ∴∫g(x)dx=m∫xsin⁡−1xdx\therefore \int g(x) d x=m \int x \sin^{-1} x d x =m[12x2sin⁡−1x−12(12sin⁡−1x−12x1−x2)]+c=m\left[\frac{1}{2} x^2 \sin^{-1} x-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2}\right)\right]+c =12mx2sin⁡−1x−14msin⁡−1x+14mx1−x2+c (Ans.) =\frac{1}{2} m x^2 \sin^{-1} x-\frac{1}{4} m \sin^{-1} x+\frac{1}{4} m x \sqrt{1-x^2}+c \text{ (Ans.) }

উত্তর

x2b2+y2a2=1\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1 (i) নং এy=0এ \mathrm{y}=0 বসিয়ে পাই, x2=b2∴x=±b\mathrm{x}^2=\mathrm{b}^2 \therefore \mathrm{x}= \pm \mathrm{b} অর্থাৎ উপবৃত্তটি x-অক্ষকে (−b,0)(-b, 0) ও (b,0)(b, 0) বিন্দুতে ছেদ করে। question image আবার, x=0x=0 বসিয়ে পাই, y2=a2\mathrm{y}^2=\mathrm{a}^2 ∴y=±a\therefore \mathrm{y}= \pm \mathrm{a} ∴\therefore উপবৃত্তটি y\mathrm{y}-অক্ষকে (0,−a)(0,-\mathrm{a}) ও (0,a)(0, \mathrm{a}) বিন্দুতে ছেদ করে। উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল =2×OABO=2 \times \mathrm{OABO} ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ধরি, x=bsin⁡θ⇒dx=bcos⁡θdθ\mathrm{x}=\mathrm{b} \sin \theta \Rightarrow \mathrm{dx}=\mathrm{b} \cos \theta \mathrm{d} \theta যখন x=0x=0, তখন θ=0\theta=0 এবং যখন x=b\mathrm{x}=\mathrm{b}, তখন θ=π2\theta=\frac{\pi}{2} =2∫0bydx=2 \int_0^{\mathrm{b}} \mathrm{ydx} =2∫0babb2−x2dx=2 \int_0^{\mathrm{b}} \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}} \sqrt{\mathrm{b}^2-\mathrm{x}^2} \mathrm{dx} =2ab∫0bb2−x2dx=\frac{2 \mathrm{a}}{\mathrm{b}} \int_0^{\mathrm{b}} \sqrt{\mathrm{b}^2-\mathrm{x}^2} \mathrm{dx} =2ab∫0π/2b2−b2sin⁡2θ⋅bcos⁡θdθ=\frac{2 \mathrm{a}}{\mathrm{b}} \int_0^{\pi / 2} \sqrt{\mathrm{b}^2-\mathrm{b}^2 \sin^2 \theta} \cdot \mathrm{b} \cos \theta \mathrm{d} \theta =2a∫0π/2b2(1−sin⁡2θ)⋅cos⁡θdθ=2 \mathrm{a} \int_0^{\pi / 2} \sqrt{\mathrm{b}^2\left(1-\sin^2 \theta\right)} \cdot \cos \theta \mathrm{d} \theta =2ab∫0π/2cos⁡2θ⋅cos⁡θdθ=ab∫0π/22cos⁡2θdθ=2 \mathrm{ab} \int_0^{\pi / 2} \sqrt{\cos^2 \theta} \cdot \cos \theta \mathrm{d} \theta=\mathrm{ab} \int_0^{\pi / 2} 2 \cos^2 \theta \mathrm{d} \theta =ab∫0π/2(1+cos⁡2θ)dθ=ab[θ+12sin⁡2θ]0π/2=\mathrm{ab} \int_0^{\pi / 2}(1+\cos 2 \theta) \mathrm{d} \theta=\mathrm{ab}\left[\theta+\frac{1}{2} \sin 2 \theta\right]_0^{\pi / 2} =ab[π2−0]=πab2=\mathrm{ab}\left[\frac{\pi}{2}-0\right]=\frac{\pi \mathrm{ab}}{2} বগ একক (Ans.)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন