Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যোগজীকরণের সাহায্যে দৃশ্যকল্প-২ এবং x+y=5 রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দৃশ্যকল্প-২ হতে, [গণিত] এবং x+y = 5 y = 5-x [গণিত] (ii) (i) ও (ii) হতে, [গণিত] আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

যোগজীকরণের সাহায্যে দৃশ্যকল্প-২ এবং x+y=5 রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্র…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=sin⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} দৃশ্যকল্প-২: 2x2+2y2=502 \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{y}^{2}=50

উত্তর

∫1a2+4x2dx\int \frac{1}{a^{2}+4 x^{2}} d x =14⋅1a2⋅tan⁡−1xa2+c= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{a}{2}} \cdot \tan^{-1} \frac{x}{\frac{a}{2}}+c =24atan⁡−12xa+c= \frac{2}{4 a} \tan^{-1} \frac{2 x}{a}+c =12atan⁡−12xa+c= \frac{1}{2 a} \tan^{-1} \frac{2 x}{a}+c

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x f(π2−x)=sin⁡(π2−x)f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) =cos⁡x=\cos x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\{f(x)+2\}\{f(x)+1\}} d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{(\sin x+2}(\sin x+2)(\sin x+1)} d x =∫0π21dz(z+1)z=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 \mathrm{dz}}{(\mathrm{z}+1) \mathrm{z}} Let, sin⁡X+1=z\sin \mathrm{X}+1=\mathrm{z} =>cos⁡x+0=dzdx=>\cos \mathrm{x}+0=\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}} ∴cos⁡xdx=dz\therefore \cos x d x=d z x 0 π/2\pi/2 \end{if}]-->\end{if}]--> z 1 2 ধরি, 1z(z+1)≡Az+Bz+1\frac{1}{z(z+1)} \equiv \frac{A}{z}+\frac{B}{z+1}
……(i)(i)\ldots\ldots(i) (i)
নং কে হরগুলোর ল.সা.গু দ্বারা গুণ করে, 1≡A(z+1)+B(z)1 \equiv \mathrm{A}(\mathrm{z}+1)+\mathrm{B}(\mathrm{z}).
……(ii)(ii)\ldots\ldots(ii) (ii)
নং z=0\mathrm{z}=0 বসিয়ে পাই, 1=A(0+1)1=\mathrm{A}(0+1) ∴A=1\therefore \mathrm{A}=1 (ii) নং z=−1\mathrm{z}=-1 বসিয়ে পাই, 1=B(−1)1 =\mathrm{B}(-1) ∴B=−1\therefore \quad \mathrm{B} =-1 A, B এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, 1z(z+1)≡1z+−1z+1\frac{1}{\mathrm{z}(\mathrm{z}+1)} \equiv \frac{1}{\mathrm{z}}+\frac{-1}{\mathrm{z}+1} =1z−1z+1=\frac{1}{\mathrm{z}}-\frac{1}{\mathrm{z}+1} ∴∫12dzz(z+1)=∫12(1z−1z+1)dz\therefore \int_{1}^{2} \frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{z}(\mathrm{z}+1)} =\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{\mathrm{z}}-\frac{1}{\mathrm{z}+1}\right) \mathrm{dz} =∫12dzz−∫12dzz+1=\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{z}}-\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{z}+1} =[ln⁡z]12−[ln⁡(z+1)]12=[\ln \mathrm{z}]_{1}^{2}-[\ln (\mathrm{z}+1)]_{1}^{2} =(ln⁡2−ln⁡1)−(ln⁡3−ln⁡2)=(\ln 2-\ln 1)-(\ln 3-\ln 2) =ln⁡2−ln⁡3+ln⁡2=\ln 2-\ln 3+\ln 2 =2ln⁡2−ln⁡3=2 \ln 2-\ln 3 =ln⁡4−ln⁡3=\ln 4-\ln 3 =ln⁡43=\ln \frac{4}{3} Ans.

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে, 2x2+2y2=502 x^{2}+2 y^{2}=50 =x2+y2=25……..(i)= x^{2}+y^{2}=25 \ldots \ldots . .(i) =y=25−x2= y=\sqrt{25-x^{2}} এবং x+y = 5 y = 5-x
……………(ii)(i)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots(ii) (i)
ও (ii) হতে, x2+(5−x)2=25x^{2}+(5-x)^{2}=25 ⇒x2+25−10x+x2=25\Rightarrow x^{2}+25-10 x+x^{2}=25 =2x2−10x=0= 2 x^{2}-10 x=0 ⇒x2−5x=0\Rightarrow x^{2}-5 x=0 ⇒x(x−5)=0\Rightarrow x(x-5)=0 ∴x=0,5\therefore x=0,5 ∴\therefore আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল =∫05(y1−y2)dx=\int_{0}^{5}\left(\mathrm{y}_{1}-\mathrm{y}_{2}\right) \mathrm{dx} =∫05{25−x2−(5−x)}dx=\int_{0}^{5}\left\{\sqrt{25-x^{2}}-(5-x)\right\} d x =∫0525−x2dx−5∫05dx+5∫05xdx=\int_{0}^{5} \sqrt{25-x^{2}} d x-5 \int_{0}^{5} d x+5 \int_{0}^{5} x d x =∫05(5)2−x2−5[x]05+12[x2]05=\int_{0}^{5} \sqrt{(5)^{2}-x^{2}}-5[x]_{0}^{5}+\frac{1}{2}\left[x^{2}\right]_{0}^{5} =[x(5)2−x22+522sin⁡−1x5]05−5(5−0)+12(52−02)=\left[\frac{x \sqrt{(5)^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{5^{2}}{2} \sin^{-1} \frac{x}{5}\right]_{0}^{5}-5(5-0)+\frac{1}{2}\left(5^{2}-0^{2}\right) =252×π2−25+252=\frac{25}{2} \times \frac{\pi}{2}-25+\frac{25}{2} =25π4+−50+252=\frac{25 \pi}{4}+\frac{-50+25}{2} =25π4−252=\frac{25 \pi}{4}-\frac{25}{2} ∴\therefore আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল 25π4−252\frac{25 \pi}{4}-\frac{25}{2} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন