Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক (ii) এ g(x,y) = 25 বক্তরেখা এবং x = 3 সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্র অংশের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] কিন্তু ১ম চতুর্ভাগে [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] PQSP ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক (Ans.)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপক (ii) এ g(x,y) = 25 বক্তরেখা এবং x = 3 সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ …

উদ্দীপক

(i) f(x)=cot⁡xf(x)=\cot x (ii) g(x,y)=x2+y2g(x, y)=x^{2}+y^{2}

উত্তর

এখানে, ∫xtan⁡−1xdx\int x \tan^{-1} x d x =tan⁡−1x∫xdx−∫{ddx(tan⁡−1x)∫xdx}dx=\tan^{-1} x \int x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}\left(\tan^{-1} x\right) \int x d x\right\} d x =12x2tan⁡−1x−12∫x21+x2dx=\frac{1}{2} x^{2} \tan^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d x =12x2tan⁡−1x−12∫(1+x2−11+x2)dx=\frac{1}{2} x^{2} \tan^{-1} x-\frac{1}{2} \int\left(\frac{1+x^{2}-1}{1+x^{2}}\right) d x =12x2tan⁡−1x−12∫dx+12∫dx1+x2=\frac{1}{2} x^{2} \tan^{-1} x-\frac{1}{2} \int d x+\frac{1}{2} \int \frac{d x}{1+x^{2}} =12x2tan⁡−1x−12x+12tan⁡−1x+c=\frac{1}{2} x^{2} \tan^{-1} x-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \tan^{-1} x+c ∴∫13xtan⁡−1xdx\therefore \int_{1}^{\sqrt{3}} x \tan^{-1} x d x =[12x2tan⁡−1x−12x+12tan⁡−1x]13=\left[\frac{1}{2} x^{2} \tan^{-1} x-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \tan^{-1} x\right]_{1}^{3} ={12(3)2tan⁡−13−12⋅3+12tan⁡−13}=\left\{\frac{1}{2}(\sqrt{3})^{2} \tan^{-1} \sqrt{3}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}+\frac{1}{2} \tan^{-1} \sqrt{3}\right\} =(32⋅π3−32+12⋅π3)−(12⋅π4−12+12⋅π4)=\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right)-\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}\right) =(2π3−32)−(π4−12)=\left(\frac{2 \pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\right) =5π12−32+12=112(5π−63+6)( Ans.) =\frac{5 \pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{12}(5 \pi-6 \sqrt{3}+6)(\text{ Ans.) }

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cot⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cot \mathrm{x} এখন, ∫1dx1+f(π2−x)=∫dx1+cot⁡(π2−x)\int \frac{1 d x}{1+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=\int \frac{d x}{1+\cot \left(\frac{\pi}{2}-x\right)} ∫11+tan⁡xdx=∫11+sin⁡xcos⁡xdx\int \frac{1}{1+\tan x} d x=\int \frac{1}{1+\frac{\sin x}{\cos x}} d x =∫cos⁡xdxcos⁡x+sin⁡x=12∫(cos⁡x+sin⁡x)+(cos⁡x−sin⁡x)cos⁡x+sin⁡xdx=\int \frac{\cos x d x}{\cos x+\sin x}=\frac{1}{2} \int \frac{(\cos x+\sin x)+(\cos x-\sin x)}{\cos x+\sin x} d x =12∫1dx+12∫cos⁡x−sin⁡xcos⁡x+sin⁡xdx=\frac{1}{2} \int 1 d x+\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x ধরি; z=cos⁡x+sin⁡xz=\cos x+\sin x ∴dz=(cos⁡x−sin⁡x)dx\therefore \mathrm{dz}=(\cos \mathrm{x}-\sin \mathrm{x}) \mathrm{dx} ∴∫11+tan⁡x=x2+12∫dzz=x2+12ln⁡∣z∣+c\therefore \int \frac{1}{1+\tan x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \int \frac{d z}{z}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \ln |z|+c =12x+12ln⁡∣cos⁡x+sin⁡x∣+c(Ans.)=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \ln |\cos x+\sin x|+c(Ans.)

উত্তর

question image দেওয়া আছে, L=x−3=0\mathrm{L}=\mathrm{x}-3=0 এবং Q(x,y)=x2+y2−25=0Q(x, y)=x^{2}+y^{2}-25=0 বা, y2=25−x2\mathrm{y}^{2}=25-\mathrm{x}^{2} ∴y=±25−x2\therefore \mathrm{y}= \pm \sqrt{25-\mathrm{x}^{2}} কিন্তু ১ম চতুর্ভাগে y>0\mathrm{y}>0 অর্থাৎ y=25−x2\mathrm{y}=\sqrt{25-\mathrm{x}^{2}} ∴\therefore নির্ণেয় ক্ষেত্রফল =PQRS=\mathrm{PQRS} ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =2×=2 \times PQSP ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =2∫35ydx=2∫3525−x2dx=2∫3552−x2dx=2 \int_{3}^{5} y d x=2 \int_{3}^{5} \sqrt{25-x^{2}} d x=2 \int_{3}^{5} \sqrt{5^{2}-x^{2}} d x =2[x25−x22+252sin⁡−1x5]35=2\left[\frac{x \sqrt{25-x^{2}}}{2}+\frac{25}{2} \sin^{-1} \frac{x}{5}\right]_{3}^{5} [∵∫a2−x2dx=xa2−x22+a22sin⁡−1xa+c]\quad\left[\because \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{x \sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a}+c\right] =2[{0+252sin⁡−1(1)}−{6+252sin⁡−135}]=2\left[\left\{0+\frac{25}{2} \sin^{-1}(1)\right\}-\left\{6+\frac{25}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}\right\}\right] =25sin⁡−1(sin⁡π2)−12−25sin⁡−135=25 \sin^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{2}\right)-12-25 \sin^{-1} \frac{3}{5} =(25π2−25sin⁡−135−12)=\left(\frac{25 \pi}{2}-25 \sin^{-1} \frac{3}{5}-12\right) বর্গ একক (Ans.)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন