Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এর বৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: প্রদত্ত বৃত্ত, [গণিত] বা, [গণিত] .. (i) এবং প্রদত্ত সরলরেখা, [গণিত] . (ii) [চিত্র] (i) নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] প্রথম চতুর্ভাগে [গণিত] ধনাত্মক অর্থাৎ, [গণিত] (i) নং ও (ii) নং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] ধরি, [গণিত] [চিত্র] [গণিত] . [গণিত] [চিত্র] [গণিত] বর্গ একক। নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এর বৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্র…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=\frac{1}{\left(4+x^2\right}^{\frac{3}{2}}} দৃশ্যকল্প-১ : x2+y2=64\y=5x^2+y^2=64 \y=5

Jessore · 2023

উত্তর

∫sin⁡9xsin⁡11xdx\int \sin 9 x \sin 11 x d x =12∫2sin⁡11xsin⁡9xdx=\frac{1}{2} \int 2 \sin 11 x \sin 9 x d x =12∫{cos⁡(11x−9x)−cos⁡(11x+9x)}dx=\frac{1}{2} \int\{\cos (11 x-9 x)-\cos (11 x+9 x)\} d x =12∫(cos⁡2x−cos⁡20x)dx=\frac{1}{2} \int(\cos 2 x-\cos 20 x) d x =12(sin⁡2x2−sin⁡20x20)+c=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin 2 x}{2}-\frac{\sin 20 x}{20}\right)+c =sin⁡2x4−sin⁡20x40+c=\frac{\sin 2 x}{4}-\frac{\sin 20 x}{40}+c নির্ণেয় যোজিত ফল sin⁡2x4−sin⁡20x40+c\frac{\sin 2 x}{4}-\frac{\sin 20 x}{40}+c.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=\frac{1}{\left(4+x^2\right}^{\frac{3}{2}}} ধরি, x = 2 tan⁡θ\tan \theta বা, dx=2sec2θdθdx = 2sec^2 \theta d \theta question image \therefore \quad \int_0^4 f(x) d x=\int_0^4 \frac{1}{\left(4+x^2\right}^{\frac{3}{2}}} d x =\int_0^{\tan^{-1} 2} \frac{2 \sec^2 \theta}{\left(4+4 \tan^2 \theta\right}^{\frac{3}{2}}} d \theta =∫0tan⁡−122sec⁡2θ{4(1+tan⁡2θ)}32=\int_0^{\tan^{-1} 2} \frac{2 \sec^2 \theta}{\left\{4\left(1+\tan^2 \theta\right)\right\}^{\frac{3}{2}}} =\int_0^{\tan^{-1} 2} \frac{2 \sec^2 \theta d \theta}{\left(4 \sec^2 \theta\right}^{\frac{3}{2}}} =∫0tan⁡−122sec⁡2θ8sec⁡3θdθ=∫0tan⁡−1214sec⁡θdθ=\int_{0}^{\tan^{-1} 2} \frac{2 \sec^{2} \theta}{8 \sec^{3} \theta} d \theta=\int_{0}^{\tan^{-1} 2} \frac{1}{4 \sec \theta} d \theta =14∫0cos⁡θdθ=\frac{1}{4} \int_{0} \cos \theta \mathrm{d} \theta =14[sin⁡θ]0tan⁡−12=\frac{1}{4}[\sin \theta]_{0}^{\tan^{-1} 2} =14[sin⁡(tan⁡−12)−0][∵x=2tan⁡θ=\frac{1}{4}\left[\sin \left(\tan^{-1} 2\right)-0\right]\left[\because x=2 \tan \theta\right. বা, θ=tan⁡−12]\left.\theta=\tan^{-1} 2\right] question image =14sin⁡(sin⁡−125)=\frac{1}{4} \sin \left(\sin^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}\right) =14×25=\frac{1}{4} \times \frac{2}{\sqrt{5}} =125=\frac{1}{2 \sqrt{5}} নির্ণেয় মান : 125\frac{1}{2 \sqrt{5}}.

উত্তর

প্রদত্ত বৃত্ত, x2+y2=64x^{2}+y^{2}=64 বা, x2+y2=82x^{2}+y^{2}=8^{2} ……..(i)\ldots\ldots.. (i) এবং প্রদত্ত সরলরেখা, y=5\mathrm{y}=5 …….(ii)\ldots\ldots. (ii) question image (i) নং হতে পাই, x2=64−y2x^{2}=64-y^{2} বা, x=±64−y2x= \pm \sqrt{64-y^{2}} প্রথম চতুর্ভাগে xx ধনাত্মক অর্থাৎ, x=64−y2x=\sqrt{64-y^{2}} (i) নং ও (ii) নং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল =2∫58xdy=2 \int_{5}^{8} x d y ধরি, y=8sinθy = 8sin \theta ∴8cosθdθ\therefore 8cos \theta d \theta question image =2∫5864−y2dy=2 \int_5^8 \sqrt{64-y^2} d y =2∫sin⁡−225264−64sin⁡2θ⋅8cos⁡θdθ=2 \int_{\sin^{-\frac{2}{2}}}^{\frac{5}{2}} \sqrt{64-64 \sin^2 \theta} \cdot 8 \cos \theta d \theta =2⋅8⋅8∫sin⁡−158π21−sin⁡2θ⋅cos⁡θdθ=2 \cdot 8 \cdot 8 \int_{\sin^{-1} \frac{5}{8}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^{2} \theta} \cdot \cos \theta d \theta =128∫sin⁡−158π2cos⁡2θ⋅cos⁡dθ=128 \int_{\sin^{-1} \frac{5}{8}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos^{2} \theta} \cdot \cos d \theta =128∫sin⁡−158π2cos⁡2θdθ=128 \int_{\sin^{-1} \frac{5}{8}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2} \theta d \theta =64∫sin⁡−158π22cos⁡2θdθ=64∫sin⁡−158π2(1+cos⁡2θ)dθ=64 \int_{\sin^{-1} \frac{5}{8}}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos^{2} \theta d \theta=64 \int_{\sin^{-1} \frac{5}{8}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2 \theta) d \theta =64[θ+sin⁡2θ2]sin⁡−158π2=64\left[\theta+\frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_{\sin^{-1} \frac{5}{8}}^{\frac{\pi}{2}} =64[θ+2sin⁡θ⋅cos⁡θ2]sin⁡−158π2=64\left[\theta+\frac{2 \sin \theta \cdot \cos \theta}{2}\right]_{\sin^{-1} \frac{5}{8}}^{\frac{\pi}{2}} =64[θ+sin⁡θ⋅cos⁡θ]π2=64[\theta+\sin \theta \cdot \cos \theta]^{\frac{\pi}{2}}. =64[(π2+sin⁡π2⋅cos⁡π2)−(sin⁡−158+sin⁡sin⁡−158⋅cos⁡sin⁡−158)]=64\left[\left(\frac{\pi}{2}+\sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{2}\right)-\left(\sin^{-1} \frac{5}{8}+\sin \sin^{-1} \frac{5}{8} \cdot \cos \sin^{-1} \frac{5}{8}\right)\right] =64[π2+0−sin⁡−158−58⋅cos⁡cos⁡−1398]=64\left[\frac{\pi}{2}+0-\sin^{-1} \frac{5}{8}-\frac{5}{8} \cdot \cos \cos^{-1} \frac{\sqrt{39}}{8}\right] question image =64[π2−sin⁡−158−58×398]=64\left[\frac{\pi}{2}-\sin^{-1} \frac{5}{8}-\frac{5}{8} \times \frac{\sqrt{39}}{8}\right] =(32π−64sin⁡−158−539)=\left(32 \pi-64 \sin^{-1} \frac{5}{8}-5 \sqrt{39}\right) বর্গ একক। নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল (32π−64sin⁡−158−539)\left(32 \pi-64 \sin^{-1} \frac{5}{8}-5 \sqrt{39}\right) বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন