Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের আরোকে [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপকের আরোকে এর মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x

Chittagong · 2023

উত্তর

ddx(cos⁡x−cos⁡2x1−cos⁡x)\frac{d}{d x}\left(\frac{\cos x-\cos 2 x}{1-\cos x}\right) =ddx{cos⁡x−(2cos⁡2x−1)1−cos⁡x}=\frac{d}{d x}\left\{\frac{\cos x-\left(2 \cos^{2} x-1\right)}{1-\cos x}\right\} =ddx(cos⁡x−2cos⁡2x+11−cos⁡x)=\frac{d}{d x}\left(\frac{\cos x-2 \cos^{2} x+1}{1-\cos x}\right) =ddx(1+cos⁡x−2cos⁡2x1−cos⁡x)=\frac{d}{d x}\left(\frac{1+\cos x-2 \cos^{2} x}{1-\cos x}\right) =ddx(1+2cos⁡x−cos⁡x−2cos⁡2x1−cos⁡x)=\frac{d}{d x}\left(\frac{1+2 \cos x-\cos x-2 \cos^{2} x}{1-\cos x}\right) =ddx{1(1+2cos⁡x)−cos⁡x(1−2cos⁡x)1−cos⁡x}=\frac{d}{d x}\left\{\frac{1(1+2 \cos x)-\cos x(1-2 \cos x)}{1-\cos x}\right\} =ddx{(1−cos⁡x)(1+2cos⁡x)1−cos⁡x}=\frac{d}{d x}\left\{\frac{(1-\cos x)(1+2 \cos x)}{1-\cos x}\right\} =ddx(1+2cos⁡x)=−2sin⁡x=\frac{d}{d x}(1+2 \cos x)=-2 \sin x

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x ∴f(π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡x\therefore f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x এবং f(2x)=cos⁡2xf(2 \mathrm{x})=\cos 2 \mathrm{x} ধরি, g(x)=f(π2−x)+f(2x)g(x)=f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+f(2 x) =sin⁡x+cos⁡2x=sin⁡x+1−2sin⁡2x=\sin x+\cos 2 x=\sin x+1-2 \sin^{2} x ∴g(x)=cos⁡x−2sin⁡2x\therefore \quad g(x)=\cos x-2 \sin 2 x g′′(x)=cos⁡x−4cos⁡2x=cos⁡x−4(cos⁡2x−sin⁡2x)g^{\prime \prime}(x)=\cos x-4 \cos 2 x=\cos x-4\left(\cos^{2} x-\sin^{2} x\right) লঘু ও গুরুমানের জন্য, g′(x)=0\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})=0 বা, cos⁡x−2sin⁡2x=0\cos x-2 \sin 2 x=0 বা, cos⁡x−2.2sin⁡xcos⁡x=0\cos x-2.2 \sin x \cos x=0 বা, cos⁡x(1−4sin⁡x)=0\cos x(1-4 \sin x)=0 হয়, cos⁡x=0\cos x=0 বা, cos⁡x=cos⁡π2\cos x=\cos \frac{\pi}{2} ∴x=π2\therefore x = \frac{\pi}{2} অথবা, 1−4sin⁡x=01-4 \sin x=0 বা, 4sin⁡x=14 \sin x=1 বা, sin⁡x=14\sin x=\frac{1}{4} ∴x=sin⁡−114\therefore x=\sin^{-1} \frac{1}{4} x=π2x=\frac{\pi}{2} হলে, g′′(π2)=0−4(0−1)=4>0g^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0-4(0-1)=4>0 ∴x=π2\therefore x=\frac{\pi}{2} এর জন্য g(x)g(x) এর লঘুমান বিদ্যামান। ∴\therefore লঘুমান =g(π2)=sin⁡π2+1−2sin⁡2π2=\mathrm{g}\left(\frac{\pi}{2}\right) =\sin \frac{\pi}{2}+1-2 \sin^{2} \frac{\pi}{2} =1+1−2×12=1+1-2 \times 1^{2} =1+1−2=2−2=0=1+1-2=2-2=0 x=sin⁡−114x=\sin^{-1} \frac{1}{4} হলে, g′′(sin⁡−114)=cos⁡(sin⁡−114)−4[{cos⁡(sin⁡−114)}2−{sin⁡(sin⁡−114)}2]g^{\prime \prime}\left(\sin^{-1} \frac{1}{4}\right)=\cos \left(\sin^{-1} \frac{1}{4}\right)-4\left[\left\{\cos \left(\sin^{-1} \frac{1}{4}\right)\right\}^{2}-\left\{\sin \left(\sin^{-1} \frac{1}{4}\right)\right\}^{2}\right] =cos⁡cos⁡−1154−4[{cos⁡(cos⁡−1154)}2−(14)2]=\cos \cos^{-1} \frac{\sqrt{15}}{4}-4\left[\left\{\cos \left(\cos^{-1} \frac{\sqrt{15}}{4}\right)\right\}^{2}-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\right] =154−4(1516−116)=\frac{\sqrt{15}}{4}-4\left(\frac{15}{16}-\frac{1}{16}\right) =154−72=\frac{\sqrt{15}}{4}-\frac{7}{2} =15−144<0=\frac{\sqrt{15}-14}{4}<0 question image ∴x=sin⁡−114\therefore \mathrm{x}=\sin^{-1} \frac{1}{4} এর জন্য g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর গুরুমান বিদ্যমান । ∴\therefore \quad গুরুমান =g(sin⁡−114)=\mathrm{g}\left(\sin^{-1} \frac{1}{4}\right) =sin⁡(sin⁡−114)+1−2{sin⁡(sin⁡−114)}2=\sin \left(\sin^{-1} \frac{1}{4}\right)+1-2\left\{\sin \left(\sin^{-1} \frac{1}{4}\right)\right\}^{2} =14+1−2×116=\frac{1}{4}+1-2 \times \frac{1}{16} =14+1−18=2+8−18=98=\frac{1}{4}+1-\frac{1}{8}=\frac{2+8-1}{8}=\frac{9}{8} নির্ণেয় লঘুমান =0=0 এবং গুরুমান =98=\frac{9}{8}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x} ∴∫{f(x)}3dx+∫1−{f(x)}2ln⁡{f(x)}dx\therefore \quad \int\{f(\mathrm{x})\}^{3} \mathrm{dx}+\int \sqrt{1-\{f(\mathrm{x})\}^{2}} \ln \{f(\mathrm{x})\} \mathrm{dx} =∫cos⁡3xdx+∫1−cos⁡2xln⁡(cos⁡x)dx=\int \cos^{3} x d x+\int \sqrt{1-\cos^{2} x} \ln (\cos x) d x =14∫4cos⁡3xdx+∫sin⁡xln⁡(cos⁡x)dx=\frac{1}{4} \int 4 \cos^{3} x d x+\int \sin x \ln (\cos x) d x =14∫(3cos⁡x+cos⁡3x)dx+∫(−ln⁡z)dz=\frac{1}{4} \int(3 \cos x+\cos 3 x) d x+\int(-\ln z) d z =14∫3cos⁡xdx+14∫cos⁡3xdx−∫ln⁡zdz=\frac{1}{4} \int 3 \cos x d x+\frac{1}{4} \int \cos 3 x d x-\int \ln z d z =34sin⁡x+14sin⁡3x3−[ln⁡z∫dz−∫{ddzln⁡z∫dz}dz]=\frac{3}{4} \sin \mathrm{x}+\frac{1}{4} \frac{\sin 3 \mathrm{x}}{3}-\left[\ln \mathrm{z} \int \mathrm{dz}-\int\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dz}} \ln \mathrm{z} \int \mathrm{dz}\right\} \mathrm{dz}\right] =34sin⁡x+112sin⁡3x−[zln⁡z−∫1z×zdz]=\frac{3}{4} \sin \mathrm{x}+\frac{1}{12} \sin 3 \mathrm{x}-\left[\mathrm{z} \ln \mathrm{z}-\int \frac{1}{\mathrm{z}} \times \mathrm{zdz}\right] =34sin⁡x+112sin⁡3x−[zln⁡z−∫dz]=\frac{3}{4} \sin x+\frac{1}{12} \sin 3 x-\left[z \ln z-\int d z\right] =34sin⁡x+112sin⁡3x−[zln⁡z−z]+c=\frac{3}{4} \sin x+\frac{1}{12} \sin 3 x-[z \ln z-z]+c =34sin⁡x+112sin⁡3x−[cos⁡xln⁡(cos⁡x)−cos⁡x]+c=\frac{3}{4} \sin x+\frac{1}{12} \sin 3 x-[\cos x \ln (\cos x)-\cos x]+c =34sin⁡x+112sin⁡3x−cos⁡x{ln⁡(cos⁡x)−1}+c=\frac{3}{4} \sin x+\frac{1}{12} \sin 3 x-\cos x\{\ln (\cos x)-1\}+c
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন