Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত চিত্রের ছায়াবৃত্ত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দৃশ্যকল্প-১ হতে, পরাবৃত্তের সমীকরণ: [গণিত] সরলরেখার সমীকরণ:চিহ্ন অনুযায়ী [গণিত] রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয়ের জন্য পরাবৃত্তের সমীকরণে [গণিত] -এর মান বসাই: [গণিত] অথবা [গণিত] যখন [গণিত] , তখন [গণিত] [ছেদবিন্দু [গণিত] ] যখন [গণিত] , তখন [গণিত] [ছেদবিন্দু [গণিত] ] চিত্র হতে দেখা যায়, ছায়াবৃত্ত (বা আবদ্ধ) অঞ্চলটি [গণিত] -অক্ষের [গণিত] থেকে [গণিত] সীমা ( [গণিত] ) পর্যন্ত বিস্তৃত। উপরের রেখাটি হলো [গণিত] এবং নিচের বক্ররেখাটি হলো [গণিত] । [গণিত] ছায়াবৃত্ত অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] এখন ইন্টিগ্রেশন করে পাই: [গণিত] উচ্চসীমা ও নিম্নসীমা বসিয়ে পাই: [গণিত] যেহেতু ক্ষেত্রফল কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই পরম মান ( [গণিত] ) নিতে হবে। [গণিত] নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক বা [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত চিত্রের ছায়াবৃত্ত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২: f(x)=\frac{x}{(x+1}^2(x+2)}

Rajshahi · 2023

উত্তর

ধরি, cos⁡x=z\cos x=z বা, −sinxdx=dx-sinxdx=dx xx 00 π2\frac{\pi }{2} zz 11 00 ∫0π2cos⁡xsin⁡3xdx=∫0π2cos⁡xsin⁡2x⋅sin⁡xdx=∫0π2cos⁡x(1−cos⁡2x)sin⁡xdx=−∫10z(1−z2)dz=∫01(z−z12+2)dz\begin{aligned} & \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x} \sin^3 x d x \\ = & \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x} \sin^2 x \cdot \sin x d x \\ = & \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x}\left(1-\cos^2 x\right) \sin x d x \\ = & -\int_1^0 \sqrt{z}\left(1-z^2\right) d z \\ = & \int_0^1\left(\sqrt{z}-z^{\frac{1}{2}}+2\right) d z\end{aligned} =∫01(z12−z52)dz=[z12+112+1]01−[z52+152+1]01=[z3232]01−[z27]01=[2z323]01−[2z27]01=[23−0]−[27−0]=23−27=821.\begin{aligned} & =\int_0^1\left(z^{\frac{1}{2}}-z^{\frac{5}{2}}\right) d z=\left[\frac{z^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_0^1-\left[\frac{z^{\frac{5}{2}+1}}{\frac{5}{2}+1}\right]_0^1 \\ & =\left[\frac{z^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^1-\left[\frac{z^2}{7}\right]_0^1=\left[\frac{2 z^{\frac{3}{2}}}{3}\right]_0^1-\left[\frac{2 z^2}{7}\right]_0^1 \\ & =\left[\frac{2}{3}-0\right]-\left[\frac{2}{7}-0\right]=\frac{2}{3}-\frac{2}{7}=\frac{8}{21} .\end{aligned}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে, f(x) = \frac{x}{(x+1}^2(x+2)} ধরি, আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করে পাই: \frac{x}{(x+1}^2(x+2)} \equiv \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1}^2} + \frac{C}{x+2} \dots \dots (i) উভয় পক্ষকে (x+1)2(x+2)(x+1)^2(x+2) দ্বারা গুণ করে পাই, x=A(x+1)(x+2)+B(x+2)+C(x+1)2……(ii)x = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2 \dots \dots (ii) সমীকরণ (ii)(ii) এ x=−2x = -2 বসিয়ে পাই: −2=A(0)+B(−2+2)+C(−2+1)2-2 = A(0) + B(-2+2) + C(-2+1)^2 ⇒−2=C(−1)2\Rightarrow -2 = C(-1)^2 ∴C=−2\therefore C = -2 সমীকরণ (ii)(ii) এ x=−1x = -1 বসিয়ে পাই: −1=A(0)+B(−1+2)+C(0)-1 = A(0) + B(-1+2) + C(0) ⇒−1=B(1)\Rightarrow -1 = B(1) ∴B=−1\therefore B = -1 এখন সমীকরণ (ii)(ii) এর উভয়পক্ষจาก x2x^2 এর সহগ সমীকৃত করে পাই: 0=A+C0 = A + C ⇒A+(−2)=0\Rightarrow A + (-2) = 0 ∴A=2\therefore A = 2 A,B,CA, B, C এর মান সমীকরণ (i)(i) এ বসিয়ে পাই: f(x) = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1}^2} - \frac{2}{x+2} এখন উভয়পক্ষকে xx এর সাপেক্ষে যোগজীকরণ করে পাই: \int f(x) \, dx = \int \left( \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1}^2} - \frac{2}{x+2} \right) dx =2∫1x+1 dx−∫(x+1)−2 dx−2∫1x+2 dx= 2 \int \frac{1}{x+1} \, dx - \int (x+1)^{-2} \, dx - 2 \int \frac{1}{x+2} \, dx = 2\ln\vert{}x+1\vert{} - \frac{(x+1)^{-1}{-1} - 2\ln\vert{}x+2\vert{} + c =2ln⁡∣x+1∣+1x+1−2ln⁡∣x+2∣+c= 2\ln\vert{}x+1\vert{} + \frac{1}{x+1} - 2\ln\vert{}x+2\vert{} + c =1x+1+2ln⁡∣x+1x+2∣+c= \frac{1}{x+1} + 2\ln\left\vert{}\frac{x+1}{x+2}\right\vert{} + c [যেখানে cc হলো সমাকলন ধ্রুবক] নির্ণেয় যোগজ: 1x+1+2ln⁡∣x+1x+2∣+c\frac{1}{x+1} + 2\ln\left\vert{}\frac{x+1}{x+2}\right\vert{} + c

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ হতে, পরাবৃত্তের সমীকরণ: y=x−x2  ⟹  x2=x−yy = x - x^2 \implies x^2 = x - y সরলরেখার সমীকরণ:চিহ্ন অনুযায়ী y=4xy = 4x রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয়ের জন্য পরাবৃত্তের সমীকরণে yy-এর মান বসাই: 4x=x−x24x = x - x^2 ⇒x2+4x−x=0\Rightarrow x^2 + 4x - x = 0 ⇒x2+3x=0\Rightarrow x^2 + 3x = 0 ⇒x(x+3)=0\Rightarrow x(x + 3) = 0 ∴x=0\therefore x = 0 অথবা x=−3x = -3 যখন x=0x = 0, তখন y=4(0)=0y = 4(0) = 0 [ছেদবিন্দু (0,0)(0, 0)] যখন x=−3x = -3, তখন y=4(−3)=−12y = 4(-3) = -12 [ছেদবিন্দু (−3,−12)(-3, -12)] চিত্র হতে দেখা যায়, ছায়াবৃত্ত (বা আবদ্ধ) অঞ্চলটি xx-অক্ষের −3-3 থেকে 00 সীমা (∫−30\int_{-3}^{0}) পর্যন্ত বিস্তৃত। উপরের রেখাটি হলো y2=4xy_2 = 4x এবং নিচের বক্ররেখাটি হলো y1=x−x2y_1 = x - x^2। ∴\therefore ছায়াবৃত্ত অংশের ক্ষেত্রফল =∫−30(y2−y1) dx= \int_{-3}^{0} (y_2 - y_1) \, dx =∫−30{4x−(x−x2)}dx= \int_{-3}^{0} \left\{ 4x - (x - x^2) \right\} dx =∫−30(4x−x+x2) dx= \int_{-3}^{0} (4x - x + x^2) \, dx =∫−30(3x+x2) dx= \int_{-3}^{0} (3x + x^2) \, dx এখন ইন্টিগ্রেশন করে পাই: =[3x22+x33]−30= \left[ \frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{0} উচ্চসীমা ও নিম্নসীমা বসিয়ে পাই: =(3(0)22+(0)33)−(3(−3)22+(−3)33)= \left( \frac{3(0)^2}{2} + \frac{(0)^3}{3} \right) - \left( \frac{3(-3)^2}{2} + \frac{(-3)^3}{3} \right) =0−(3(9)2−273)= 0 - \left( \frac{3(9)}{2} - \frac{27}{3} \right) =−(272−9)= -\left( \frac{27}{2} - 9 \right) =−(27−182)= -\left( \frac{27 - 18}{2} \right) =−(92)=−92= -\left( \frac{9}{2} \right) = -\frac{9}{2} যেহেতু ক্ষেত্রফল কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই পরম মান (Absolute\ValueAbsolute\Value) নিতে হবে। ∴\therefore নির্ণেয় ক্ষেত্রফল =∣−92∣=92= \left\vert{} -\frac{9}{2} \right\vert{} = \frac{9}{2} বর্গ একক বা 4.54.5 বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন