Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এবং [গণিত] অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল বের কর।

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (1) বৃত্তটির কেন্দ্র [গণিত] এরং ব্যাসার্ধ, [গণিত] -অক্ষের সমীকরণ, [গণিত] বৃত্তটি [গণিত] অক্ষকে [গণিত] ও B বিন্দুতে ছেদ করে। (1) নং সমীকরণে [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] (1) নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] -অক্ষের নিচে [গণিত] ঋণাত্মক অর্থাৎ [গণিত] ধরি, [গণিত] এবং [গণিত] (1) নং বৃত্ত এবং x-অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল, [গণিত] নির্ণেয় সীমাবদ্ধ ক্ষদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

এবং অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল বের কর।

উদ্দীপক

f(x,y)=x2+y2+6x−2y−15f(x, y)=x^{2}+y^{2}+6 x-2 y-15 g(x)=cos⁡xsin⁡3xg(x)=\sqrt{\cos x} \sin^{3} x

Barisal · 2023

উত্তর

∫cos⁡xcos⁡x+sin⁡xdx\int \frac{\cos x}{\cos x+\sin x} d x =12∫(cos⁡x+sin⁡x)+(cos⁡x−sin⁡x)cos⁡x+sin⁡xdx=\frac{1}{2} \int \frac{(\cos x+\sin x)+(\cos x-\sin x)}{\cos x+\sin x} d x =12∫dx+12∫cos⁡x−sin⁡xcos⁡x+sin⁡xdx=\frac{1}{2} \int d x+\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x =12x+12ln⁡∣cos⁡x+sin⁡x∣+c[∵∫f′(x)f(x)dx=ln⁡∣f(x)∣+c]=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \ln |\cos x+\sin x|+c\left[\because \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} d x=\ln |f(x)|+c\right] নির্ণেয় যোজিত ফল =12x+12ln⁡∣cos⁡x+sin⁡x∣+c=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \ln |\cos x+\sin x|+c.

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=cos⁡xsin⁡3xg(x)=\sqrt{\cos x} \sin^{3} x ∴∫0π2g(x)dx=∫0π2cos⁡xsin⁡3xdx\therefore \quad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} g(x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x} \sin^{3} x d x =∫0π2cos⁡xsin⁡2xsin⁡xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x} \sin^{2} x \sin x d x π2\frac{\pi}{2} =∫0cos⁡x(1−cos⁡2x)sin⁡xdx=\int_{0} \sqrt{\cos x}\left(1-\cos^{2} x\right) \sin x d x ধরি, cos⁡x=y\cos x=y বা, −sin⁡xdx=dy-\sin x d x=d y question image =∫10−y(y−y2)dy=\int_{1}^{0}-\sqrt{y}\left(y-y^{2}\right) d y =∫01(y12−y12+2)dy=\int_{0}^{1}\left(y^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}+2}\right) d y =∫01(y12−y52)dy=\int_{0}^{1}\left(y^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{5}{2}}\right) d y =[y12+112+1]01−[y52+152+1]01=[3232]01−[7272]01=\left[\frac{y^{\frac{1}{2}}+1}{\frac{1}{2}+1}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{y^{\frac{5}{2}}+1}{\frac{5}{2}+1}\right]_{0}^{1}=\left[\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{2}}\right]_{0}^{1} =[23y32]01−[27y72]01=23−0−27+0=14−621=821=\left[\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}-0-\frac{2}{7}+0=\frac{14-6}{21}=\frac{8}{21} নির্ণেয় মান : 821\frac{8}{21}.

উত্তর

question image দেওয়া আছে, f(x,y)=x2+y2+6x−2y−15f(x, y)=x^{2}+y^{2}+6 x-2 y-15 আবার, f(x,y)=0f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 বা, x2+y2+6x−2y−15=0x^{2}+y^{2}+6 x-2 y-15=0 বা, x2+6x+9+y2−2y+1=25x^{2}+6 x+9+y^{2}-2 y+1=25 বা, (x+3)2+(y−1)2=52(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=5^{2} …….(1)\ldots\ldots. (1) বৃত্তটির কেন্দ্র (−3,1)(-3,1) এরং ব্যাসার্ধ, r=5r=5 xx-অক্ষের সমীকরণ, y=0y=0 বৃত্তটি xx অক্ষকে AA ও B বিন্দুতে ছেদ করে। (1) নং সমীকরণে y=0y=0 বসিয়ে পাই, (x+3)2+1=25(x+3)^{2}+1=25 বা, (x+3)2=24(x+3)^{2}=24 বা, x+3=±26x+3= \pm 2 \sqrt{6} ∴x=−3±26\therefore x=-3 \pm 2 \sqrt{6} ∴A(−3+26,0)\therefore \mathrm{A}(-3+2 \sqrt{6}, 0) এবং B(−3−26,0)\mathrm{B}(-3-2 \sqrt{6}, 0) (1) নং হতে পাই, (y−1)2=52−(x+3)2(y-1)^{2}=5^{2}-(x+3)^{2} বা, y−1=±52−(x+3)2y-1= \pm \sqrt{5^{2}-(x+3)^{2}} বা, y=1±52−(x+3)2y=1 \pm \sqrt{5^{2}-(x+3)^{2}} xx-অক্ষের নিচে yy ঋণাত্মক অর্থাৎ y=1−52−(x+3)2y=1-\sqrt{5^{2}-(x+3)^{2}} ধরি, y=0=y1y=0=y_{1} এবং y=1−52−(x+3)2=y2y=1-\sqrt{5^{2}-(x+3)^{2}}=y_{2} ∴\therefore (1) নং বৃত্ত এবং x-অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল, ∫−3−26−3+26(y1−y2)dx\int_{-3-2 \sqrt{6}}^{-3+2 \sqrt{6}}\left(y_1-y_2\right) d x =∫−26−3+26[0−(1−52−(x+3)2]dx=\int_{-2 \sqrt{6}}^{-3+2 \sqrt{6}}\left[0-\left(1-\sqrt{5^2-(x+3)^2}\right] d x\right. =∫−3−26−3+26[−1+52−(x+3)2]d(x+3)=\int_{-3-2 \sqrt{6}}^{-3+2 \sqrt{6}}\left[-1+\sqrt{5^2-(x+3)^2}\right] d(x+3) =−[x+3]−3−26−3+26+[(x+3)52−(x+3)22+522sin⁡−1x+35]−3−26−3+26=-[x+3]_{-3-2 \sqrt{6}}^{-3+2 \sqrt{6}}+\left[\frac{(x+3) \sqrt{5^2-(x+3)^2}}{2}+\frac{5^2}{2} \sin^{-1} \frac{x+3}{5}\right]_{-3-2 \sqrt{6}}^{-3+2 \sqrt{6}} [∵a2−x2dx=xa2−x22+a22sin⁡−1xa+c]\quad \left[\because \sqrt{a^2-x^2} d x=\frac{x \sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a}+c\right] =−[−3+26+3+26]+[6+252sin⁡−1265+6−252sin⁡−1(−265)]\begin{aligned} & =-[-3+2 \sqrt{6}+3+2 \sqrt{6}]+ {\left[\sqrt{6}+\frac{25}{2} \sin^{-1} \frac{2 \sqrt{6}}{5}+\sqrt{6}-\frac{25}{2} \sin^{-1}\left(\frac{-2 \sqrt{6}}{5}\right)\right]}\end{aligned} =−46+[26+3+26]+252sin⁡−1265+6−252sin⁡−1(265+252sin⁡265]=-4 \sqrt{6}+[2 \sqrt{6}+3+2 \sqrt{6}]+\frac{25}{2} \sin^{-1} \frac{2 \sqrt{6}}{5}+\sqrt{6}-\frac{25}{2} \sin^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}+\frac{25}{2} \sin^{\frac{2 \sqrt{6}}{5}}\right] =−46+26+25sin⁡−1265=-4 \sqrt{6}+2 \sqrt{6}+25 \sin^{-1} \frac{2 \sqrt{6}}{5} =25sin⁡−1265−26=25 \sin^{-1} \frac{2 \sqrt{6}}{5}-2 \sqrt{6} নির্ণেয় সীমাবদ্ধ ক্ষদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল (25sin⁡−1265−26)\left(25 \sin^{-1} \frac{2 \sqrt{6}}{5}-2 \sqrt{6}\right)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন