Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত পরাবৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ব ক্ষেত্রের নির্ণয় কর।

উত্তর: দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রদত্ত বক্ররেখা (পরাবৃত্ত) ও সরলরেখার সমীকরণ: [গণিত] ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য প্রথমে রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয় করি। [গণিত] হতে [গণিত] এর মান [গণিত] এ বসিয়ে পাই: [গণিত] সুতরাং, [গণিত] অথবা [গণিত] । যেহেতু [গণিত] ব্যবধিতে বক্ররেখা [গণিত] সরলরেখা [গণিত] এর উপরে অবস্থান করে, তাই নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল: [গণিত] সীমানা (Limits) বসিয়ে পাই: [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত পরাবৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ব ক্ষেত্রের নির্…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=\frac{x+3}{(x-1}\left(x^{2}+5\right)}. দৃশ্যকল্প-২: y2=8x,x−y=0\mathrm{y}^{2}=8 \mathrm{x}, \mathrm{x}-\mathrm{y}=0.

Barisal · 2022

উত্তর

ধরি, I=∫dx3−5x2I = \int \frac{dx}{\sqrt{3 - 5x^2}} একে আদর্শ সমীকরণের আকারে সাজিয়ে পাই: I=∫dx(3)2−(5x)2I = \int \frac{dx}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5}x)^2}} ধরি, 5x=z\sqrt{5}x = z অন্তরীকরণ করে পাই, 5dx=dz  ⟹  dx=dz5\sqrt{5}dx = dz \implies dx = \frac{dz}{\sqrt{5}} মানগুলো বসিয়ে পাই: I=15∫dz(3)2−z2I = \frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{dz}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 - z^2}} আমরা জানি, ∫dxa2−x2=sin⁡−1(xa)+C\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C =15sin⁡−1(z3)+C= \frac{1}{\sqrt{5}} \sin^{-1}\left(\frac{z}{\sqrt{3}}\right) + C zz-এর মান পুনরায় বসিয়ে পাই: =15sin⁡−1(5x3)+C= \frac{1}{\sqrt{5}} \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}x}{\sqrt{3}}\right) + C 15sin⁡−1(53x)+C\frac{1}{\sqrt{5}} \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{3}}x\right) + C

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই, f(x) = \frac{x+3}{(x-1}(x^2+5)} প্রথমে ফাংশনটিকে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করি। ধরি, \frac{x+3}{(x-1}(x^2+5)} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+5} উভয়পক্ষকে (x−1)(x2+5)(x-1)(x^2+5) দ্বারা গুণ করে পাই: x+3=A(x2+5)+(Bx+C)(x−1)……(i)x+3 = A(x^2+5) + (Bx+C)(x-1) \quad \dots \dots (i) (i)(i) নং সমীকরণে x=1x = 1 বসিয়ে পাই: 1+3=A(12+5)+01+3 = A(1^2+5) + 0 ⇒4=6A  ⟹  A=46=23\Rightarrow 4 = 6A \implies A = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} (i)(i) নং সমীকরণের উভয়পক্ষ হতে x2x^2 এর সহগ সমীকৃত করে পাই: 0=A+B  ⟹  B=−A=−230 = A + B \implies B = -A = -\frac{2}{3} আবার, ধ্রুবক পদ সমীকৃত করে পাই: 3=5A−C3 = 5A - C ⇒C=5A−3=5(23)−3=103−3=10−93=13\Rightarrow C = 5A - 3 = 5\left(\frac{2}{3}\right) - 3 = \frac{10}{3} - 3 = \frac{10-9}{3} = \frac{1}{3} মানগুলো বসিয়ে পাই: f(x)=23x−1+−23x+13x2+5f(x) = \frac{\frac{2}{3}}{x-1} + \frac{-\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}}{x^2+5} =23(x−1)−2x−13(x2+5)= \frac{2}{3(x-1)} - \frac{2x-1}{3(x^2+5)} এখন xx এর সাপেক্ষে যোগজীকরণ করে পাই: ∫f(x)dx=∫[23(x−1)−2x−13(x2+5)]dx\int f(x) dx = \int \left[ \frac{2}{3(x-1)} - \frac{2x-1}{3(x^2+5)} \right] dx =23∫dxx−1−13∫2x−1x2+5dx= \frac{2}{3} \int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{3} \int \frac{2x - 1}{x^2+5} dx =23∫dxx−1−13∫2xx2+5dx+13∫dxx2+(5)2= \frac{2}{3} \int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{3} \int \frac{2x}{x^2+5} dx + \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2+(\sqrt{5})^2} সূত্রের সাহায্যে সরাসরি যোগজীকরণ করে পাই: =23ln⁡∣x−1∣−13ln⁡(x2+5)+13⋅15tan⁡−1(x5)+C= \frac{2}{3} \ln\vert{}x-1\vert{} - \frac{1}{3} \ln(x^2+5) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) + C =23ln⁡∣x−1∣−13ln⁡(x2+5)+135tan⁡−1(x5)+C= \frac{2}{3} \ln\vert{}x-1\vert{} - \frac{1}{3} \ln(x^2+5) + \frac{1}{3\sqrt{5}} \tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) + C (যেখানে, CC হলো সমাকলন ধ্রুবক) ∴ 23ln⁡∣x−1∣−13ln⁡(x2+5)+135tan⁡−1(x5)+C\therefore ~ \frac{2}{3} \ln\vert{}x-1\vert{} - \frac{1}{3} \ln(x^2+5) + \frac{1}{3\sqrt{5}} \tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) + C

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রদত্ত বক্ররেখা (পরাবৃত্ত) ও সরলরেখার সমীকরণ: y2=8x……(i)y^2 = 8x \quad \dots \dots (i) x−y=0  ⟹  y=x……(ii)x - y = 0 \implies y = x \quad \dots \dots (ii) ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য প্রথমে রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয় করি। (ii)(ii) হতে yy এর মান (i)(i) এ বসিয়ে পাই: x2=8xx^2 = 8x ⇒x2−8x=0\Rightarrow x^2 - 8x = 0 ⇒x(x−8)=0\Rightarrow x(x - 8) = 0 সুতরাং, x=0x = 0 অথবা x=8x = 8। যেহেতু x∈[0,8]x \in [0, 8] ব্যবধিতে বক্ররেখা y=8xy = \sqrt{8x} সরলরেখা y=xy = x এর উপরে অবস্থান করে, তাই নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল: Area=∫08(8x−x)dxArea = \int_{0}^{8} \left( \sqrt{8x} - x \right) dx =∫08(22x12−x)dx= \int_{0}^{8} \left( 2\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}} - x \right) dx =[22⋅x3232−x22]08= \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{8} =[423x32−x22]08= \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{8} সীমানা (Limits) বসিয়ে পাই: =(423⋅832−822)−0= \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}} - \frac{8^2}{2} \right) - 0 =(423⋅162−642)= \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 16\sqrt{2} - \frac{64}{2} \right) =1283−32= \frac{128}{3} - 32 =128−963= \frac{128 - 96}{3} =323= \frac{32}{3} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন