Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প -২ এর সাহায্যে প্রমান কর যে, [গণিত]

উত্তর: দৃশ্যকল্প-২ : হতে, [গণিত] উভয়পক্ষকে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরন করে পাই, [গণিত] পুনরায়, x এর সাপেক্ষ অন্তরীকরন করে পাই, [গণিত] (proved)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প -২ এর সাহায্যে প্রমান কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : f(z)=\frac{Z^2}{\left(1+Z^2\right}^2} দৃশ্যকল্প-২ : g(t)=eacos⁡−1(2t)\mathrm{g}(\mathrm{t})=\mathrm{e}^{\mathrm{a} \cos -1(2 \mathrm{t})}

Jessore · 2022

উত্তর

প্রশ্নমতে, y=3x(1+x)⇒y=3x+3x2\begin{aligned}& y=3 x(1+x) \\& \Rightarrow y=3 x+3 x^2\end{aligned} উভয়পক্ষকে x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরিকরন করে পাই dydx=3+6x\frac{d y}{d x}=3+6 x মূলবিন্দুতে র্স্পশকের ঢাল, dydx=3+6.0\frac{d y}{d x}=3+6.0
=3=3
মূলবিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল =−13=\frac{-1}{3}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ : হতে, \begin{aligned} & f(z)=\frac{z^2}{\left(1+z^2\right}^2} \\ & f\left(e^x\right)=\frac{e^{2 \mathrm{x}}}{\left(1+e^{2 \mathrm{x}}\right)^2} \\ & \therefore \int_0^{\ln 2} f\left(e^x\right)=\int_0^{\ln } \frac{e^{2 x}}{\left(1+e^{2 x}\right)^2} d \\ & =\frac{1}{2} \int_2^5 \frac{d z}{z^2} \\ & =\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\right]_2^5 \\ & =-\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{2}\right) \\ & =-\frac{1}{2} \times \frac{2-5}{10} \\ & =\frac{3}{20}\end{aligned}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ : হতে, g(t)=eacos⁡−1(2t)g(x)=eacos⁡−1(2x)\begin{aligned}& g(t)=e^a \cos^{-1}(2 t) \\& g(x)=e^a \cos^{-1}(2 x)\end{aligned} উভয়পক্ষকে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরন করে পাই, g′(x)=ddx(eacos⁡−1(2x)⇒g′(x)⋅eacos⁡−1(2x)⋅ad′dx{(cos⁡−12x)}⇒g′(x)=ag(x)(−1)1−4x2ddx(2x)⇒g′(x)=ag(x)−2ag(x)1−4x2⇒{g′(x)}2=4a2{g(x)}21−4x2⇒(1−4x2){g′(x)}2=4a2{g(x)}2\begin{aligned}& g^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{d x}\left(e^a \cos^{-1}(2 x)\right. \\& \Rightarrow g^{\prime}(x) \cdot e^a \cos^{-1}(2 x) \cdot a \frac{d^{\prime}}{d x}\left\{\left(\cos^{-1} 2 x\right)\right\} \\& \Rightarrow g^{\prime}(x)=a g(x) \frac{(-1)}{\sqrt{1-4 x^2}} \frac{\mathrm{d}}{d x}(2 \mathrm{x}) \\& \Rightarrow g^{\prime}(x)=a g(x) \frac{-2 \mathrm{ag}(\mathrm{x})}{\sqrt{1-4 x^2}} \\& \Rightarrow\left\{g^{\prime}(x)\right\}^2=\frac{4 a^2\{g(x)\}^2}{1-4 x^2} \\& \Rightarrow\left(1-4 x^2\right)\left\{g^{\prime}(x)\right\}^2=4 a^2\{g(x)\}^2\end{aligned} পুনরায়, x এর সাপেক্ষ অন্তরীকরন করে পাই, ddx[(1−4x2){g′(x)}2]=4a2ddx{g(x)}2⇒(1−4x2)ddx{g′(x)}2+{g′(x)}2ddx(1−4x2)=4a2⋅2g(x)⋅g′(x)⇒(Δ−4x2)2g′(x)g′′(x)−8x{g′(x)}2=8a2g(x)g′(x)⇒2g′(x){1−4x2)g′′(x)−4xg′(x)}=8a2g(x)g′(x)⇒(1−4x2)g′′(x)−4xg′(x)=4a2g(x)⇒(1−4x2)g′′(x)−4xg′(x)−4a2g(x)=0\begin{aligned}& \frac{d}{d x}\left[\left(1-4 x^2\right)\left\{g^{\prime}(x)\right\}^2\right]=4 a^2 \frac{d}{d x}\{g(x)\}^2 \\& \Rightarrow\left(1-4 x^2\right) \frac{d}{d x}\left\{g^{\prime}(x)\right\}^2+ \\& \left\{g^{\prime}(x)\right\}^2 \frac{d}{d x}\left(1-4 x^2\right)=4 a^2 \cdot 2 g(x) \cdot g^{\prime}(x) \\& \Rightarrow\left(\Delta-4 x^2\right) 2 g^{\prime}(x) g^{\prime \prime}(x)-8 x\left\{g^{\prime}(x)\right\}^2 \\& =8 a^2 g(x) g^{\prime}(x) \\& \left.\Rightarrow 2 g^{\prime}(x)\left\{1-4 x^2\right) g^{\prime \prime}(x)-4 x g^{\prime}(x)\right\} \\& =8 a^2 g(x) g^{\prime}(x) \\& \Rightarrow\left(1-4 x^2\right) g^{\prime \prime}(x)-4 x g^{\prime}(x)=4 a^2 g(x) \\& \Rightarrow\left(1-4 x^2\right) g^{\prime \prime}(x)-4 x g^{\prime}(x)-4 a^2 g(x)=0\end{aligned} (proved)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন