Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এবং x = 3y সরলরেখা দ্বারা + আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছ, y 2 = 2x [গণিত] (i) x = 3y [গণিত] ... (ii) (i) নং সমীকরণে x = 3y বসিয়ে, [গণিত] (i) নং ও (ii) রেখার ছেদবিন্দু (0,0) এবং (18,6) (i) নং হতে পাই, [গণিত] (ii) নং হতে পাই, [গণিত] (i) ও (ii) নং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, [গণিত] = 18 বর্গ একক। নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 18 বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এবং x = 3y সরলরেখা দ্বারা + আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ন…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : g(x)=cot⁡−1xg(x)=\cot^{-1} x দৃশ্যকল্প-২ : y2=2x\mathrm{y}^2=2 \mathrm{x}.

Jessore · 2022

উত্তর

প্রশ্নমত, ∫dx5−3x2=∫dx3(53x2)=13∫dx(53)2−x2=13sin⁡−1x53+c=13sin⁡−13x5+c\begin{aligned}& \int \frac{d x}{\sqrt{5-3 x^2}}=\int \frac{d x}{\sqrt{3\left(\frac{5}{3} x^2\right)}} \\& =\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{d x}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\right)^2-x^2}} \\& =\frac{1}{\sqrt{3}} \sin^{-1} \frac{x}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}+\mathrm{c} \\& =\frac{1}{\sqrt{3}} \sin^{-1} \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}+\mathrm{c}\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=cot⁡−1x∴∫13xg(x)dx=∫13xcot⁡−1xdx=[cot⁡−1x∫1xdx−{ddx(cot⁡x)∫1xdxdx]13=[x22cot⁡−1x+∫12x22+x2)dx]13=[x22cot⁡−1x+12∫1211+x2dx]13=[x22cot⁡−1x+12∫121−11+x2dx]13\begin{aligned} & g(x)=\cot^{-1} x \\ & \therefore \int_1^{\sqrt{3}} x g(x) d x=\int_1^{\sqrt{3}} x \cot^{-1} x d x \\ & =\left[\cot^{-1} x \int_1 x d x-\left\{\frac{d}{d x}(\cot x) \int_1 x d x d x\right]_1^{\sqrt{3}}\right. \\ & =\left[\frac{x^2}{2} \cot^{-1} x+\int_1^2 \frac{x^2}{\left.2+x^2\right)} d x\right]_1^{\sqrt{3}} \\ & =\left[\frac{x^2}{2} \cot^{-1} x+\frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{1+x^2} d x\right]_1^{\sqrt{3}} \\ & =\left[\frac{x^2}{2} \cot^{-1} x+\frac{1}{2} \int_1^2 1-\frac{1}{1+x^2} d x\right]_1^{\sqrt{3}}\end{aligned} =[x22cot⁡−1x+x2+12cot⁡−1x+c]13∴∫13xcot⁡−1xdx=[x22cot⁡−1x+x2+12cot⁡−1x]13=12[x2cot⁡−1x]13+12[x]13+12[cot⁡−1x]13=12[3cot⁡−13−cot⁡−1111]+12[3−1]+12(cot⁡−13−cot⁡−11)=12(3⋅π6−π4)+12(3−1)+12(π6−π4)=π4−π8+12(3−1)+π12−π8=12(3−1)+π12=12(3−1+π6)\begin{aligned} & =\left[\frac{x^2}{2} \cot^{-1} x+\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \cot^{-1} x+c\right]_1^{\sqrt{3}} \\ & \therefore \int_1^{\sqrt{3}} x \cot^{-1} x d x \\ & =\left[\frac{x^2}{2} \cot^{-1} x+\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \cot^{-1} x\right]_1^{\sqrt{3}} \\ & =\frac{1}{2}\left[x^2 \cot^{-1} x\right]_1^{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}[x]_1^{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\left[\cot^{-1} x\right]_1^{\sqrt{3}} \\ & =\frac{1}{2}\left[3 \cot^{-1} \sqrt{3}-\cot^{-1} \frac{1}{11}\right]+\frac{1}{2}[\sqrt{3}-1] \\ & +\frac{1}{2}\left(\cot^{-1} \sqrt{3}-\cot^{-1} 1\right) \\ & =\frac{1}{2}\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}\right) \\ & =\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)+\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{8} \\ & =\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)+\frac{\pi}{12} \\ & =\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}-1+\frac{\pi}{6}\right)\end{aligned} ইহাই নির্ণেয় মান।

উত্তর

দেওয়া আছ,
y2=2x……(i)x=3y……...(ii)(i)y^2 = 2x \ldots\ldots (i) x = 3y \ldots\ldots... (ii) (i)
নং সমীকরণে x = 3y বসিয়ে, 1−2,3y⇒y2=6y⇒y2−6y=0⇒y(y−6)=0∴y=0,6y=0 হলে, x=0y=6 হলে, x=18\begin{aligned}& 1-2,3 y \\& \Rightarrow y^2=6 y \\& \Rightarrow y^2-6 y=0 \\& \Rightarrow y(y-6)=0 \\& \therefore y=0,6 \\& y=0 \text{ হলে, } x=0 \\& y=6 \text{ হলে, } x=18\end{aligned}(i) নং ও (ii) রেখার ছেদবিন্দু (0,0) এবং (18,6) (i) নং হতে পাই, y2=2x⇒y=2x=y1\begin{aligned}y^2 & =2 x \Rightarrow y & =\sqrt{2} \sqrt{x}=y_1\end{aligned} (ii) নং হতে পাই, x=3y⇒y=x3=y2\begin{aligned}x & =3 y \Rightarrow y & =\frac{x}{3}=y_2\end{aligned} (i) ও (ii) নং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, =∫018(y1−y2)dx=∫018(2x−x3)dx=2∫018[xdx−13]018xdx=2[x23]018−13[x22]018=223(18)32−0−16×(18)2+0=223(18)32−15=72−54\begin{aligned} & =\int_0^{18}\left(y_1-y_2\right) d x \\ & =\int_0^{18}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}-\frac{x}{3}\right) d x \\ & =\sqrt{2} \int_0^{18}\left[\sqrt{x} d x-\frac{1}{3}\right]_0^{18} x d x \\ & =\sqrt{2}\left[\frac{x^2}{3}\right]_0^{18}-\frac{1}{3}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{18} \\ & =\frac{2 \sqrt{2}}{3}(18)^{\frac{3}{2}}-0-\frac{1}{6} \times(18)^2+0 \\ & =\frac{2 \sqrt{2}}{3}(18)^{\frac{3}{2}}-15 \\ & =72-54\end{aligned} = 18 বর্গ একক। নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 18 বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
দৃশ্যকল্প-২ এবং x = 3y সরলরেখা দ্বারা + আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ন… | Prosthuti