Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এর উপবৃত্ত এবং বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ১ম চতুর্ভাগের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: [গণিত] এবং, [গণিত] (ii) (ii) নং থেকে, [গণিত] (i) - (ii) [গণিত] (0,3) ও (0,-3) তে দ্বারা ছেদ করবে। (i) নং এ x = 0 ও y = 0 বসিয়ে [গণিত] উপবৃত্তটি [গণিত] ও [গণিত] বিন্দু দিয়ে যাবে [চিত্র] (ii) নং থেকে [গণিত] এবং (i) নং থেকে [গণিত] আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এর উপবৃত্ত এবং বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ১ম চতুর্ভাগের ক্ষেত্র…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: g(x)=cos⁡x,h(x)=x4\mathrm{g}(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x}, \mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^4 দৃশ্যকল্প-২: x216+y29=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 একটি উপবৃত্ত; x2+y2=9\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=9 একটি বৃত্ত।

Rajshahi · 2022

উত্তর

দেওয়া আছ, f(x)=x+4xf(x)=x+\frac{4}{x} চরমমান থাকবে যেখানে f′(x)=0f^{\prime}(x)=0 এখন, f′(x)=1−4x2=0f^{\prime}(x)=1-\frac{4}{x^2}=0 =1−4x2∴f′(x)=0⇒1−4x2=0⇒1=4x2∴x=±2\begin{aligned}& =1-\frac{4}{x^2} \\& \therefore f^{\prime}(x)=0 \\& \Rightarrow 1-\frac{4}{x^2}=0 \\& \Rightarrow 1=\frac{4}{x^2} \\& \therefore x= \pm 2\end{aligned} ∴X=2,−2\therefore \mathrm{X}=2,-2 এর জন্য f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) এর চরমমান বিদ্যমান

উত্তর

দেওয়া আছ, g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x এবং, h(x)=x4\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^4 এখন, ∫0π/2{g(x)}2dx\int_0^{\pi / 2}\{g(x)\}^2 d x =12∫0π/22{g(x)}2dx=12∫0π/22cos⁡2xdx\begin{aligned}& =\frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2} 2\{g(x)\}^2 d x \\& =\frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2} 2 \cos^2 x d x\end{aligned} =12∫0π/2(1+cos⁡2x)dx=12[x+sin⁡2x2]0π/2=12[(π2+0]−(0+0)]=π4\begin{aligned}& =\frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2}(1+\cos 2 x) d x \\& =\frac{1}{2}\left[x+\frac{\sin 2 x}{2}\right]_0^{\pi / 2} \\& =\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}+0\right]-(0+0)\right] \\& =\frac{\pi}{4}\end{aligned} এখন, \begin{aligned}& \int_0^1 \frac{x}{1+h(x)} d x=\int_0^3 \frac{x}{1+x^4} d x \\& =\int_0^1 \frac{x}{1+\left(x^2\right}^2} d x \\& =\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{2 x}{1+\left(x^2\right}^2} d x \\& =\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{d z}{1+z^2} \\& \text{ ধরি, } x^2=z \\& 2 x d x=d z \\& \mathrm{x}=1 \text{ হলে } \\& =\frac{1}{2}\left[\tan^{-1} z\right] \delta \\& z=1 \\& \mathrm{x}=0 \text{ হলে } \\& z=0 \\& =\frac{1}{2}=1\left(\tan^{-1} 1-\tan^{-1} 0\right) \\& =\frac{1}{2} \tan^{-1} 1=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8} \\& \therefore \int_0^{\pi / 2} \cos^2 x d x+\int_0^1 \frac{x}{1+h(x)} d x \\& =\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{8}=\frac{3 \pi}{8} \text{ (Ans) } \\&\end{aligned}

উত্তর

x216+y29=1⇒x242+y232=1…………(i)\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 \Rightarrow \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1 \ldots \ldots \ldots \ldots(i) এবং, x2+y2=9⇒x2+y2=32…x^2+y^2=9 \Rightarrow x^2+y^2=3^2 \ldots (ii) (ii) নং থেকে, x2+y29=1x29+y29=1\begin{aligned}& \frac{x^2+y^2}{9}=1 \\& \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}=1\end{aligned} (i) - (ii) x24−x29=0x2536=0∴x=0x=0 (i) নং এ বসিয়ে, y2=9⇒y=±3\begin{aligned}& \frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{9}=0 \\& x^2 \frac{5}{36}=0 \\& \therefore x=0 \\& x=0 \text{ (i) নং এ বসিয়ে, } \\& y^2=9 \\& \Rightarrow y= \pm 3\end{aligned} ∴\therefore (0,3) ও (0,-3) তে দ্বারা ছেদ করবে। (i) নং এ x = 0 ও y = 0 বসিয়ে y=±3∙x=±4y= \pm 3 \bullet x= \pm 4 ∴\therefore উপবৃত্তটি (0,3),(0,3)(0,3),(0,3) ও (4,0),(−4,0)(4,0),(-4,0) বিন্দু দিয়ে যাবে question image (ii) নং থেকে y1=y=9−x2\mathrm{y}_1=\mathrm{y}=\sqrt{9-x^2} এবং (i) নং থেকে y2=1−x2169=3416−x2\begin{aligned}& y_2=\sqrt[9]{1-\frac{x^2}{16}} \\& =\frac{3}{4} \sqrt{16-x^2}\end{aligned} ∴\therefore আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল, =∫04y2dx∫03y1dx=\int_0^4 y_2^{d x} \int_0^3 y_1 d x =34∫0416−x2dx−∫0332−x2dx=34[x16−x22+422sin⁡2x4]04−[x32−x22+322sin⁡−1x3]=34[(0+8⋅π2)−(0+0)]−[(0+92×π2)−(0−0)]=34×8π2−92×π2=3π−9π4=12π−9π4=3π4 একক (Ans) \begin{aligned}& =\frac{3}{4} \int_0^4 \sqrt{16-x^2} \mathrm{dx}-\int_0^3 \sqrt{3^2-\mathrm{x}^2} \mathrm{dx} \\& =\frac{3}{4}\left[\frac{\mathrm{x} \sqrt{16-\mathrm{x}^2}}{2}+\frac{4^2}{2} \sin^2 \frac{\mathrm{x}}{4}\right]_0^4-\left[\frac{\mathrm{x} \sqrt{3^2-\mathrm{x}^2}}{2}+\frac{3^2}{2} \sin^{-1} \frac{\mathrm{x}}{3}\right] \\& =\frac{3}{4}\left[\left(0+8 \cdot \frac{\pi}{2}\right)-(0+0)\right]-\left[\left(0+\frac{9}{2} \times \frac{\pi}{2}\right)-(0-0)\right] \\& =\frac{3}{4} \times \frac{8 \pi}{2}-\frac{9}{2} \times \frac{\pi}{2} \\& =3 \pi-\frac{9 \pi}{4} \\& =\frac{12 \pi-9 \pi}{4} \\& =\frac{3 \pi}{4} \text{ একক (Ans) }\end{aligned}
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন