Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ব ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] '+' চিহ্ন নিয়ে, [গণিত] অক্ষ্যে [গণিত] বসিয়ে [গণিত] ক্ষেত্রফল [গণিত] এখন, [গণিত] let, [গণিত] [যেখানে c একটি যোগজীকরন ধ্রুবক] [গণিত] এখন, [গণিত] ক্ষেত্রফল [গণিত] অর্ধক্ষেত্রফল [গণিত] (Ans)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ব ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

g(x,y)=16x2+25y2−400, F(z)=zln⁡z\mathrm{g}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=16 \mathrm{x}^{2}+25 \mathrm{y}^{2}-400, \mathrm{~F}(\mathrm{z})=\mathrm{z} \ln \mathrm{z}.

Chittagong · 2022

উত্তর

∫cosec⁡⁡2x1−cot⁡2xdx Let, cot⁡x=z\int \frac{\operatorname{\cosec}^{2} x}{\sqrt{1-\cot^{2} x}} d x \quad \text{ Let, } \cot \mathrm{x}=\mathrm{z} =∫−cosec⁡⁡2xdx1−cot⁡2x⇒−cosec⁡⁡2xdx=dz=\int \frac{-\operatorname{\cosec}^{2} x d x}{\sqrt{1-\cot^{2} x}} \quad \Rightarrow-\operatorname{\cosec}^{2} x d x=d z =−∫dz1−z2=-\int \frac{d z}{\sqrt{1-z^{2}}} =−sin⁡−1z+C [ যেখানে C একটি যোগত্রীকর ধ্রুবক] =-\sin^{-1} z+C \text{ [ যেখানে C একটি যোগত্রীকর ধ্রুবক] } =−sin⁡−1(cot⁡x)+c=-\sin^{-1}(\cot x)+c

উত্তর

এখানে, ∫f(x)dx\int f(x) d x =∫xln⁡xdx=\int x \ln x d x =ln⁡x∫xdx−∫ddx(ln⁡x)∫xdxdx=ln⁡x×x22−∫(1x×x22)dx=x2ln⁡x2−∫x2dx\begin{aligned} & =\ln x \int x d x-\int \frac{d}{d x}(\ln x) \int x d x d x \\& =\frac{\ln x \times x^{2}}{2}-\int\left(\frac{1}{x} \times \frac{x^{2}}{2}\right) d x \\& =\frac{x^{2} \ln x}{2}-\int \frac{x}{2} d x\end{aligned} =x2ln⁡x2−x22×2+c=\frac{x^{2} \ln x}{2}-\frac{x^{2}}{2 \times 2}+c [C একটি যোগত্রীকর ধ্রুবক] =x2ln⁡x2−x24+C=\frac{x^{2} \ln x}{2}-\frac{x^{2}}{4}+C এখন ∫1ef(x)dx\int_{1}^{\sqrt{e}} f(x) d x =[x2ln⁡x2−x24]e1=\left[\frac{x^{2} \ln x}{2}-\frac{x^{2}}{4}\right]^{\sqrt{e}} 1 =[eln⁡e2−e4)−(ln⁡12−1/4)=\left[\frac{e \ln e}{2}-\frac{e}{4}\right)-\left(\frac{\ln 1}{2}-1 / 4\right) =(e2−e4)−(0−14)=\left(\frac{e}{2}-\frac{e}{4}\right)-\left(0-\frac{1}{4}\right) =e2−e4+1/4=\frac{e}{2}-\frac{e}{4}+1 / 4 =14=\frac{1}{4} Ans

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x,y)=16x2+25y2−400=0g(x, y) =16 x^{2}+25 y^{2}-400=0 ⇒16x+25y2=400\Rightarrow 16 x+25 y^{2}=400 x225+y216=1\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1 ⇒y2=1−x225\Rightarrow y^{2}=1-\frac{x^{2}}{25} ⇒y216=25−x225\Rightarrow \frac{y^{2}}{16}=\frac{25-x^{2}}{25} ⇒y=16×25−x225\Rightarrow y=\sqrt{16 \times \frac{25-x^{2}}{25}} ⇒y=±425−x25\Rightarrow y= \pm 4 \frac{\sqrt{25-x^{2}}}{5} ⇒y=±4525−x2\Rightarrow y= \pm \frac{4}{5} \sqrt{25-x^{2}} '+' চিহ্ন নিয়ে, y=4525−x2y=\frac{4}{5} \sqrt{25-x^{2}} x−x- অক্ষ্যে y=0y=0 বসিয়ে 0=4525−x20=\frac{4}{5} \sqrt{25-x^{2}} ⇒x=±5\Rightarrow x= \pm 5 ∴\therefore ক্ষেত্রফল =2∫−554525−x2dx=2 \int_{-5}^{5} \frac{4}{5} \sqrt{25-x^{2}} d x =2×45∫−5525−x2dx=2 \times \frac{4}{5} \int_{-5}^{5} \sqrt{25-x^{2}} d x এখন, ∫25−x22x\int \sqrt{25-x^{2}} 2 x let, x=5sin⁡θx=5 \sin \theta =∫25−25sin⁡2θdxdx=5cos⁡θdθ=\int \sqrt{25-25 \sin^{2} \theta} d x \quad d x=5 \cos \theta d \theta =∫25(1−sin⁡2θ)dx=\int \sqrt{25\left(1-\sin^{2} \theta\right)} d x =∫5cos⁡θdx=\int 5 \cos \theta d x =∫5cst⁡5cos⁡θdθ=\int 5 \operatorname{cst} 5 \cos \theta d \theta =∫25cos⁡2θdθ=\int 25 \cos^{2} \theta d \theta =252∫2cos⁡2θdθ=\frac{25}{2} \int 2 \cos^{2} \theta d \theta =252∫(1+cos⁡2θ)dθ=\frac{25}{2} \int(1+\cos 2 \theta) d \theta =252(θ+sin⁡2θ2)+c=\frac{25}{2}\left(\theta+\frac{\sin 2 \theta}{2}\right)+c [যেখানে c একটি যোগজীকরন ধ্রুবক] =252(θ+sin⁡2θ2)+c=\frac{25}{2}\left(\theta+\frac{\sin 2 \theta}{2}\right)+c এখন, ∫−5525−x2\int_{-5}^{5} \sqrt{25-x^{2}} =252[θ+sin⁡2θ2]−π/2π/2=\frac{25}{2}\left[\theta+\frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_{-\pi / 2}^{\pi / 2} =252[(π2+o)−(−π/2)+0]=\frac{25}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}+o\right)-(-\pi / 2)+0\right] =252(π2+π2)=\frac{25}{2}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right) =252π=\frac{25}{2} \pi =25π2=\frac{25 \pi}{2} ∴\therefore ক্ষেত্রফল =2×45∫−5525−x2dx=2 \times \frac{4}{5} \int_{-5}^{5} \sqrt{25-x^{2}} d x =2×45×−25π2=2 \times \frac{4}{5} \times \frac{-25 \pi}{2} =20π=20 \pi ∴\therefore অর্ধক্ষেত্রফল =10π=10 \pi (Ans)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন