Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

y = 4g(x) ও y = 2x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] এবং [গণিত] [চিত্র] (1) নং সমীকরণে [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হলে (2)নং হতে পাই, [গণিত] হলে (2)নং হতে পাই, [গণিত] (1)নং পরাবৃত্ত ও (2)নং রেখা পরস্পর [গণিত] এবং [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করে। [গণিত] (1)নং ও (2)নং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

y = 4g(x) ও y = 2x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(x)=2x+1(x2+4)(x−1)\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2 x+1}{\left(x^{2}+4\right)(x-1)} এবং g(x)=x2\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2} দুটি ফাংশন।

Dinajpur · 2022

উত্তর

প্রশ্নমতে, ∫ln⁡(1+x)dx\int \ln (1+x) d x ⇒∫1ln⁡(1+x)a[∫uvdx=u∫vdx−∫vdxdx]\Rightarrow \int 1 \ln (1+\mathrm{x}) \quad \mathrm{a}\left[\int \mathrm{uvd} \mathrm{x}=\mathrm{u} \int \mathrm{vdx}-\int \mathrm{vdx} d \mathrm{x}\right] ⇒ln⁡(1+x)∫1dx−∫ddxln⁡(1+x)∫1dxdx\Rightarrow \ln (1+\mathrm{x}) \int 1 \mathrm{dx}-\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \ln (1+\mathrm{x}) \int 1 \mathrm{dx} \mathrm{dx} ⇒xln⁡(1+x)−∫(x1+x×x)dx\Rightarrow \mathrm{x} \ln (1+\mathrm{x})-\int\left(\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}} \times \mathrm{x}\right) \mathrm{dx} ⇒xln⁡(1+x)−∫(1−11+x)dx\Rightarrow \mathrm{x} \ln (1+\mathrm{x})-\int\left(1-\frac{1}{1+\mathrm{x}}\right) \mathrm{dx} ⇒xln⁡(1+x)−(x−ln⁡(1+x)+c\Rightarrow \mathrm{x} \ln (1+\mathrm{x})-(\mathrm{x}-\ln (1+\mathrm{x})+\mathrm{c} पापএকाদী যোগত্রীয়ন ধ্রুতব )) ⇒xln⁡(1+x)−x+ln⁡(1+x)+c\Rightarrow \mathrm{x} \ln (1+\mathrm{x})-\mathrm{x}+\ln (1+\mathrm{x})+\mathrm{c}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=2x+1(x2+4)(x−1)\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2 \mathrm{x}+1}{\left(\mathrm{x}^{2}+4\right)(\mathrm{x}-1)} ধরি, 2x+1(x2+4)(x−1)≡Ax+B(x2+4)+C(x−1)\frac{2 x+1}{\left(x^{2}+4\right)(x-1)} \equiv \frac{A x+B}{\left(x^{2}+4\right)}+\frac{C}{(x-1)}. ⇒(2x+1)=(Ax+B)(x−1)+⋯C×(x2+4)\Rightarrow(2 x+1)=(A x+B)(x-1)+\cdots C \times\left(x^{2}+4\right) (ii) নং এx=1এ x=1 বসিয়ে, 2+1=0+c(1+4)⇒3=5c⇒C=35\begin{aligned}2+1 & =0+c(1+4) \Rightarrow 3 & =5 c \Rightarrow C & =\frac{3}{5}\end{aligned} এখন (ii) নং থেকে, 2x+1=Ax−Ax+Bx−B+Cx2+4C2x+1=x2(A+C)+x(B−A)+4C−B\begin{aligned}& 2 x+1=A x-A x+B x-B+C x^{2}+4 C \\& 2 x+1=x^{2}(A+C)+x(B-A)+4 C-B\end{aligned} উভয় পক্ষ্যে সহগ সমীকৃত করে পাই, B−A=2B-A=2 A+C=0A+C=0 4C−B=14 C-B=1 A+C=0A+C=0 ⇒A=−C=−35∴A=−3/5\Rightarrow A=-C=-\frac{3}{5} \quad \therefore A=-3 / 5 এবং, B−A=2B-A=2 ⇒B=2+A\Rightarrow B=2+A =2−35=2-\frac{3}{5} =75=\frac{7}{5} A,B,C এড় মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, ∴2x+1(x2+4)(9x−1)=(−35x+75)(x2+4)+−35(x−1)\therefore \frac{2 x+1}{\left(x^{2}+4\right)(9 x-1)}=\frac{\left(\frac{-3}{5} x+\frac{7}{5}\right)}{\left(x^{2}+4\right)}+\frac{\frac{-3}{5}}{(x-1)} =−15[(3x−7)22+4+3x−1]=-\frac{1}{5}\left[\frac{(3 x-7)}{2^{2}+4}+\frac{3}{x-1}\right] ∴2x+1(x2+4)(x−1)=−15[∫3x−7x2+4dx+3in⁡(x−1)]\therefore \frac{2 x+1}{\left(x^{2}+4\right)(x-1)}=\frac{-1}{5}\left[\int \frac{3 x-7}{x^{2}+4} d x+3 \operatorname{in}(x-1)\right] =−15∫(3xx2+4−7x2+4)dx+3ln⁡(x−1)=\frac{-1}{5} \int\left(\frac{3 x}{x^{2}+4}-\frac{7}{x^{2}+4}\right) d x+3 \ln (x-1) =−15[32∫2xx2+4dx−2×74∫1/21+(x2)2dx]+3ln⁡(x−1)=-\frac{1}{5}\left[\frac{3}{2} \int \frac{2 x}{x^{2}+4} d x-\frac{2 \times 7}{4} \int \frac{1 / 2}{1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}} d x\right]+3 \ln (x-1) =−15[32ln⁡(x2+4)−72tan⁡−1(x2)]+3ln⁡(x−1)]+c\left.=\frac{-1}{5}\left[\frac{3}{2} \ln \left(x^{2}+4\right)-\frac{7}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right]+3 \ln (x-1)\right]+c [बেখানে c\mathrm{c} একত্রী যেগাত্রীকরণ ধ্রুবক ]] =−310ln⁡(x2+4)+710tan⁡−1(x2)+35ln⁡(x−1)+c=\frac{-3}{10} \ln \left(x^{2}+4\right)+\frac{7}{10} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{3}{5} \ln (x-1)+c ans.

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x2g(x)=x^2 এবং y=4g(x)y=4 g(x) ∴y=4x2………(i)\therefore \mathrm{y}=4 \mathrm{x}^2 \ldots\ldots\ldots (i) এবং y=2x……………...(ii)\mathrm{y}=2 \mathrm{x} \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii) question image (1) নং সমীকরণে y=2xy=2 x বসিয়ে পাই, 2x=4x22 x=4 x^2 বা, 2x2−x=02 x^2-x=0 বা, x(2x−1)=0x(2 x-1)=0 ∴x=0,x=12\therefore \quad \mathrm{x}=0, \mathrm{x}=\frac{1}{2} x=0\mathrm{x}=0 হলে (2)নং হতে পাই, y=0\mathrm{y}=0 x=12\mathrm{x}=\frac{1}{2} হলে (2)নং হতে পাই, y=1\mathrm{y}=1 ∴\therefore \quad (1)নং পরাবৃত্ত ও (2)নং রেখা পরস্পর O(0,0)\mathrm{O}(0,0) এবং B(12,1)\mathrm{B}\left(\frac{1}{2}, 1\right) বিন্দুতে ছেদ করে। ∴\therefore (1)নং ও (2)নং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =∫012(y1−y2)dx=∫012(2x−4x2)dx=2∫012xdx−4∫012x2dx=2[x22]0112−4[x33]012=22(122−0)−43(123−0)=14−43⋅18=14−16=3−212=112 বর্গ একক \begin{aligned}& =\int_0^{\frac{1}{2}}\left(\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2\right) \mathrm{dx}=\int_0^{\frac{1}{2}}\left(2 \mathrm{x}-4 \mathrm{x}^2\right) \mathrm{dx} \\ & =2 \int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{xdx}-4 \int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{x}^2 \mathrm{dx} \\ & =2\left[\frac{\mathrm{x}^2}{2}\right]_0^1 \frac{1}{2}-4\left[\frac{\mathrm{x}^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{2}\left(\frac{1}{2^2}-0\right)-\frac{4}{3}\left(\frac{1}{2^3}-0\right) \\ & =\frac{1}{4}-\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3-2}{12}=\frac{1}{12} \text{ বর্গ একক }\end{aligned} নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 112\frac{1}{12} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন