Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এবং [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] যা একটি বৃত্তের সমীকরণ যার কেন্দ্র [গণিত] এবং ব্যাসার্ধ 7 একক। আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] প্রথম চতুর্ভাগে [গণিত] ধনাত্মক অর্থাৎ, [গণিত] রেখাটি বৃত্তটিকে ছেদ করে। বৃত্ত এবং [গণিত] রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল [চিত্র] [গণিত] বর্গ একক নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল = [গণিত] -10 [গণিত] -49 [গণিত] -1 [গণিত] ( [গণিত] )$ বর্গ একক

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

এবং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ঃ f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x দৃশ্যকল্প-২ঃ f(x,y)=x2+y2−49f(x, y)=x^2+y^2-49

উত্তর

∫dx4cos⁡2x+9sin⁡2x=∫1cos⁡2xdx4cos⁡2xcos⁡2x+9⋅sin⁡2xcos⁡2x\int \frac{d x}{4 \cos^2 x+9 \sin^2 x}=\int \frac{\frac{1}{\cos^2 x} d x}{4 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}+9 \cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} ধরি, 3tan⁡x=z3 \tan x=z ∴3sec⁡2xdx=dz\therefore 3 \sec^2 x d x=d z =∫sec⁡2xdx4+9tan⁡2x=\int \frac{\sec^2 x d x}{4+9 \tan^2 x} \begin{aligned} & =\frac{1}{3} \int \frac{3 \sec^2 x d x}{4+(3 \tan x}^2} \\ & =\frac{1}{3} \int \frac{d z}{4+z^2}=\frac{1}{3} \int \frac{d z}{2^2+z^2} \\ & =\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{z}{2}\right)+c=\frac{1}{6} \tan^{-1}\left(\frac{3 \tan x}{2}\right)+c\end{aligned} ∴∫dx4cos⁡2x+9sin⁡2x=16tan⁡−1(3tan⁡x2)+c\therefore \int \frac{d x}{4 \cos^2 x+9 \sin^2 x}=\frac{1}{6} \tan^{-1}\left(\frac{3 \tan x}{2}\right)+c.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ∴f(3x)=sin⁡3x\therefore f(3 \mathrm{x})=\sin 3 \mathrm{x} ∴∫0π2{f(x)}2f(3x)dx=∫0π2sin⁡2xsin⁡3xdx\therefore \quad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\{f(x)\}^{2} f(3 x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \sin 3 x d x =12∫0π22sin⁡2x⋅sin⁡3xdx=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x \cdot \sin 3 x d x =12∫0π2(1−cos⁡2x)sin⁡3xdx=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos 2 x) \sin 3 x d x =12[∫0π2sin⁡3xdx−∫0π2sin⁡3xcos⁡2xdx]=\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 3 x d x-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 3 x \cos 2 x d x\right] =12[∫0π2sin⁡3xdx−12∫0π22sin⁡3xcos⁡2xdx]=\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 3 x d x-\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin 3 x \cos 2 x d x\right] =12∫0π2sin⁡3xdx−14∫0π2{sin⁡(3x+2x)=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 3 x d x-\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\{\sin (3 x+2 x) +sin⁡(3x−2x)}dx+\sin (3 x-2 x)\} d x =12∫0π2sin⁡3xdx−14∫0π2sin⁡5xdx−14∫0π2sin⁡xdx=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 3 x d x-\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 5 x d x-\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x =−12[cos⁡3x3]0π2+14[cos⁡5x5]0π2+14[cos⁡x]0π2=\frac{-1}{2}\left[\frac{\cos 3 x}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{4}\left[\frac{\cos 5 x}{5}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{4}[\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =−16(0−1)+120(0−1)+14(0−1)=-\frac{1}{6}(0-1)+\frac{1}{20}(0-1)+\frac{1}{4}(0-1) =16−120−14=\frac{1}{6}-\frac{1}{20}-\frac{1}{4} =10−3−1560=−860=−215=\frac{10-3-15}{60}=\frac{-8}{60}=-\frac{2}{15} নির্ণেয় মান : −215-\frac{2}{15}.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x,y)=x2+y2−49f(x, y)=x^2+y^2-49 আবার, f(x,y)=0f(x, y)=0 বা, x2+y2−49=0x^2+y^2-49=0 বা, x2+y2=49x^2+y^2=49 ∴x2+y2=72\therefore x^2+y^2=7^2 যা একটি বৃত্তের সমীকরণ যার কেন্দ্র (0,0)(\mathbf{0 , 0}) এবং ব্যাসার্ধ 7 একক। আবার, x2+y2−49=0x^2+y^2-49=0 বা, y2=49−x2y^2=49-x^2 বা, y=±49−x2y= \pm \sqrt{49-x^2} প্রথম চতুর্ভাগে yy ধনাত্মক অর্থাৎ, y=49−x2\mathrm{y}=\sqrt{49-\mathrm{x}^2} x=5x=5 রেখাটি বৃত্তটিকে ছেদ করে। বৃত্ত এবং x=5x=5 রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল question image =2∫57ydx=2∫5749−x2dx=2∫5772−x2dx=2[x72−x22+722sin⁡−1(x7)]57\begin{aligned} & =2 \int_5^7 y d x \\ & =2 \int_5^7 \sqrt{49-x^2} d x \\ & =2 \int_5^7 \sqrt{7^2-x^2} d x \\ & =2\left[\frac{x \sqrt{7^2-x^2}}{2}+\frac{7^2}{2} \sin^{-1}\left(\frac{x}{7}\right)\right]_5^7\end{aligned} [∵∫a2−x2dx=xa2−x22+a223sin⁡−1xa+c]\left[\because \int \sqrt{a^2-x^2} d x=\frac{x \sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2^3} \sin^{-1} \frac{x}{a}+c\right] =[x72−x2+49sin⁡−1(x7)]57=(0+49×π2)−(524+49sin⁡−157)\begin{aligned} & =\left[x \sqrt{7^2-x^2}+49 \sin^{-1}\left(\frac{x}{7}\right)\right]_5^7 \\ & =\left(0+49 \times \frac{\pi}{2}\right)-\left(5 \sqrt{24}+49 \sin^{-1} \frac{5}{7}\right)\end{aligned} =49π2−106−49sin⁡−1(57)=\frac{49 \pi}{2}-10 \sqrt{6}-49 \sin^{-1}\left(\frac{5}{7}\right) বর্গ একক নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল =49π2−106−49sin⁡−1(57)\frac{49 \pi}{2}-10 \sqrt{6}-49 \sin^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)$ বর্গ একক
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন