Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর: [বি. দ্র: [গণিত] এর পরিবর্তে [গণিত] হবে] . ধরি, [গণিত] [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] নির্ণেয় মান [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

এর মান নির্ণয় করো।

উদ্দীপক

f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x এবং g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x.

উত্তর

∫eln⁡(ln⁡x)dx=∫ln⁡xdx=ln⁡x∫dx−∫(ddx(ln⁡x)∫dx)dx[∵∫uvdx=u∫vdx−∫{dudx∫vdx}dx]=xln⁡x−∫1x⋅xdx=xln⁡x−∫dx=xln⁡x−x+c∴∫eln⁡(ln⁡x)dx=xln⁡x−x+c.\begin{aligned} & \int e^{\ln (\ln x)} d x= \int \ln x d x=\ln x \int d x-\int\left(\frac{d}{d x}(\ln x) \int d x\right) d x \\ & {\left[\because \int u v d x=u \int v d x-\int\left\{\frac{d u}{d x} \int v d x\right\} d x\right] } \\ &= x \ln x-\int \frac{1}{x} \cdot x d x=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+c \\ & \therefore \int e^{\ln (\ln x)} d x=x \ln x-x+c .\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x এবং g(π2−2α)+g(π2−2β)=cg\left(\frac{\pi}{2}-2 \alpha\right)+g\left(\frac{\pi}{2}-2 \beta\right)=c বা, cos⁡(π2−2α)+cos⁡(π2−2β)=c\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 \alpha\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 \beta\right)=\mathrm{c} বা, cos⁡2α+sin⁡2β=c\cos 2 \alpha+\sin 2 \beta=c…(i)\ldots(i) আবার, g(2α)+g(2β)=dg(2 \alpha)+g(2 \beta)=d বা, cos⁡2α+cos⁡2β=d\cos 2 \alpha+\cos 2 \beta=d…(ii)\ldots(ii) (ii)নং কে (i)নং দ্বারা ভাগ করে পাই, cos⁡2α+cos⁡2βsin⁡2α+sin⁡2β=dc\frac{\cos 2 \alpha+\cos 2 \beta}{\sin 2 \alpha+\sin 2 \beta}=\frac{d}{c} বা, 2cos⁡2α+2β2cos⁡2α−2β22sin⁡2α+2β2cos⁡2α−2β2=dc\frac{2 \cos \frac{2 \alpha+2 \beta}{2} \cos \frac{2 \alpha-2 \beta}{2}}{2 \sin \frac{2 \alpha+2 \beta}{2} \cos \frac{2 \alpha-2 \beta}{2}}=\frac{d}{c} বা, cos⁡(α+β)sin⁡(α+β)=dc\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\sin (\alpha+\beta)}=\frac{d}{c} বা, cos⁡2(α+β)sin⁡2(α+β)=d2c2\frac{\cos^2(\alpha+\beta)}{\sin^2(\alpha+\beta)}=\frac{d^2}{c^2} [বর্গ করে] বা, \frac{\cos^2(\alpha+\beta)+\sin^2(\alpha+\beta)}{\cos^2(\alpha+\beta}-\sin^2(\alpha+\beta)}=\frac{d^2+c^2}{d^2-c^2} [যোজন-বিয়োজন করে] বা, 1cos⁡2(α+β)=d2+c2d2−c2\frac{1}{\cos 2(\alpha+\beta)}=\frac{d^2+c^2}{d^2-c^2} বা, 1cos⁡(2α+2β)=d2+c2d2−c2\frac{1}{\cos (2 \alpha+2 \beta)}=\frac{d^2+c^2}{d^2-c^2} ∴cos⁡(2α+2β)=d2−c2d2+c2\therefore \quad \cos (2 \alpha+2 \beta)=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}. (দেখানো হলো)

উত্তর

[বি. দ্র: F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর পরিবর্তে f(x)f(\mathrm{x}) হবে] . ধরি, cos⁡x=z\cos x=z ∴−sin⁡xdx=dz\therefore-\sin x d x=d z question image দেওয়া আছে, F(x)=sin⁡x\mathrm{F}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} ∴∫0π2{F(x)}5(1−{F(x)2)4dx=∫0π2sin⁡5x(1−sin⁡2x)4dx=∫0π2sin⁡5x(cos⁡2x)4dx=∫0π2sin⁡5xcos⁡4xdx=∫0π2sin⁡4xcos⁡4x⋅sin⁡xdxπ2=∫01(1−cos⁡2x)2cos⁡4xsin⁡xdx\begin{aligned} \therefore & \left.\int_0^{\frac{\pi}{2}}\{F(x)\}^5(\sqrt{1-\{F(x})^2\right)^4 d x \\ = & \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x\left(\sqrt{1-\sin^2 x}\right)^4 d x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x\left(\sqrt{\cos^2 x}\right)^4 d x \\ = & \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos^4 x d x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^4 x \cdot \sin x d x \\ & \frac{\pi}{2} \\ = & \int_0^1\left(1-\cos^2 x\right)^2 \cos^4 x \sin x d x\end{aligned} =−∫10(1−z2)2z4dz=∫01(1−z2)2z4dz=∫01(1−2z2+z4)z4dz=∫01(z4−2z6+z8)dz\begin{aligned} & =-\int_1^0\left(1-z^2\right)^2 z^4 d z \\ & =\int_0^1\left(1-z^2\right)^2 z^4 d z \\ & =\int_0^1\left(1-2 z^2+z^4\right) z^4 d z \\ & =\int_0^1\left(z^4-2 z^6+z^8\right) d z\end{aligned} =[z55]01−2[z77]01+[z99]01=15−2×17+19=8315=\left[\frac{z^5}{5}\right]_0^1-2\left[\frac{z^7}{7}\right]_0^1+\left[\frac{z^9}{9}\right]_0^1=\frac{1}{5}-2 \times \frac{1}{7}+\frac{1}{9}=\frac{8}{315} নির্ণেয় মান 8315\frac{8}{315}
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন