Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প ২ এর বৃত্তটির ক্ষেত্রফল যোগজীকরণের মাধ্যমে নির্ণয় করো।

উত্তর: [চিত্র] ধরি, [গণিত] [চিত্র] দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বৃত্তের প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] সম্পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প ২ এর বৃত্তটির ক্ষেত্রফল যোগজীকরণের মাধ্যমে নির্ণয় করো।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প ১ : F1(x)=ex,F2(x)=cos⁡x\mathrm{F}_1(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}, \mathrm{F}_2(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x} দৃশ্যকল্প ২ : x2+y2=25x^2+y^2=25.

উত্তর

ধরি, tan⁡x=u\sqrt{\tan x}=u বা, tan⁡x=u2\tan \mathrm{x}=\mathrm{u}^2 ∴sec⁡2xdx=2udu\therefore \sec^2 \mathrm{xdx}=2 \mathrm{udu} ∫tan⁡xdxsin⁡xcos⁡x=∫tan⁡xsin⁡xcos⁡xcos⁡2xdx\int \frac{\sqrt{\tan x} d x}{\sin x \cos x} =\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\frac{\sin x}{\cos x} \cos^2 x} d x =∫tan⁡xtan⁡x×cos⁡2xdx=\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x \times \cos^2 x} d x =∫1tan⁡xsec⁡2xdx=\int \frac{1}{\sqrt{\tan x}} \sec^2 x d x =∫1u2udu=∫2du=2∫du=2u+c=\int \frac{1}{u} 2 u d u=\int 2 d u=2 \int d u=2 u+c =2tan⁡x+c=2 \sqrt{\tan x}+c ∴∫tan⁡xsin⁡xcos⁡x=2tan⁡x+c\therefore \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x}= 2 \sqrt{\tan x}+c

উত্তর

দেওয়া আছে, F1(x)=ex\mathrm{F}_1(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} ∴F1(2x)=e2x\therefore \mathrm{F}_1(2 \mathrm{x})=\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}} এবং F2(x)=cos⁡x\mathrm{F}_2(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x} ∴F2(3x)=cos⁡3x\therefore \mathrm{F}_2(3 \mathrm{x})=\cos 3 \mathrm{x} ∴∫F1(2x)F2(3x)dx=∫e2xcos⁡3xdx\therefore \quad \int F_1(2 x) F_2(3 x) d x=\int e^{2 x} \cos 3 x d x ধরি, I=∫e2xcos⁡3xdxI=\int \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}} \cos 3 \mathrm{xdx} বা, I=e2x∫cos⁡3xdx−∫{ddx(e2x)∫cos⁡3x}dxI=e^{2 x} \int \cos 3 x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}\left(e^{2 x}\right) \int \cos 3 x\right\} d x বা, I=e2x⋅sin⁡3x3−∫2e2x⋅sin⁡3x3dxI=e^{2 x} \cdot \frac{\sin 3 x}{3}-\int 2 e^{2 x} \cdot \frac{\sin 3 x}{3} d x বা, I=13e2xsin⁡3x−23∫e2xsin⁡3xdxI=\frac{1}{3} e^{2 x} \sin 3 x-\frac{2}{3} \int e^{2 x} \sin 3 x d x বা, I=13e2xsin⁡3x−23[e2x∫sin⁡3xdx−∫{ddx(e2x)∫sin⁡3x}]dxI=\frac{1}{3} e^{2 x} \sin 3 x-\frac{2}{3}\left[e^{2 x} \int \sin 3 x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}\left(e^{2 x}\right) \int \sin 3 x\right\}\right] d x বা, I=13e2xsin⁡3x−23[−13e2xcos⁡3x+23∫e2xcos⁡3xdx]I=\frac{1}{3} \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}} \sin 3 \mathrm{x}-\frac{2}{3}\left[-\frac{1}{3} \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}} \cos 3 \mathrm{x}+\frac{2}{3} \int \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}} \cos 3 \mathrm{xdx}\right] বা, I=13e2xsin⁡3x−23[−13e2xcos⁡3x+23∫e2xcos⁡3xdx]I=\frac{1}{3} e^{2 x} \sin 3 x-\frac{2}{3}\left[-\frac{1}{3} e^{2 x} \cos 3 x+\frac{2}{3} \int e^{2 x} \cos 3 x d x\right] বা, I=13e2xsin⁡3x+29e2xcos⁡3x−49∫e2xcos⁡3xdxI=\frac{1}{3} e^{2 x} \sin 3 x+\frac{2}{9} e^{2 x} \cos 3 x-\frac{4}{9} \int e^{2 x} \cos 3 x d x বা, I=13e2xsin⁡3x+29e2xcos⁡3x−49II=\frac{1}{3} e^{2 x} \sin 3 x+\frac{2}{9} e^{2 x} \cos 3 x-\frac{4}{9} I বা, I+49I=13e2xsin⁡3x+29e2xcos⁡3xI+\frac{4}{9} I=\frac{1}{3} e^{2 x} \sin 3 x+\frac{2}{9} e^{2 x} \cos 3 x বা, 139×I=19e2x(3sin⁡3x+2cos⁡3x)\frac{13}{9} \times I=\frac{1}{9} e^{2 x}(3 \sin 3 x+2 \cos 3 x) বা, I=913×19e2x(3cos⁡3x+3sin⁡3x)I=\frac{9}{13} \times \frac{1}{9} e^{2 x}(3 \cos 3 x+3 \sin 3 x) ∴I=113e2x(2cos⁡3x+3sin⁡3x)+c\therefore \quad I=\frac{1}{13} e^{2 x}(2 \cos 3 x+3 \sin 3 x)+c ∴∫F1(2x)F2(3x)=113e2x(2cos⁡3x+3sin⁡3x)+c\therefore \int F_1(2 x) F_2(3 x)=\frac{1}{13} e^{2 x}(2 \cos 3 x+3 \sin 3 x)+c

উত্তর

question image ধরি, x=5sin⁡θx=5 \sin \theta ∴dx=5cos⁡θdθ\therefore d x=5 \cos \theta d \theta question image দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2=25x^2+y^2=25 বা, y2=25−x2\mathrm{y}^2=25-\mathrm{x}^2 বা, y=±25−x2y= \pm \sqrt{25-x^2} বৃত্তের প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত অংশের ক্ষেত্রফল =∫05ydx=\int_0^5 \mathrm{ydx} ∴\therefore সম্পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল =4∫05ydx=4 \int_0^5 \mathrm{y} \mathrm{dx} =4∫0525−x2dx=4 \int_0^5 \sqrt{25-x^2} d x =4∫0π225−25sin⁡2θ⋅5cos⁡θdθ=4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{25-25 \sin^2 \theta} \cdot 5 \cos \theta d \theta =4×25∫0π21−sin⁡2θ⋅cos⁡θdθ=4 \times 25 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cdot \cos \theta d \theta =100∫0π2cos⁡2θdθ=50∫0π22cos⁡2θdθ=100 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d \theta=50 \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos^2 \theta d \theta =50∫0π2(1+cos⁡2θ)dθ=50[θ+sin⁡2θ2]0π2=50 \int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2 \theta) \mathrm{d} \theta=50\left[\theta+\frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} =50[(π2+sin⁡π2)−0]=50×π2=25π=50\left[\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\sin \pi}{2}\right)-0\right]=50 \times \frac{\pi}{2}=25 \pi বর্গ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 25π25 \pi বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন