Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এবং [গণিত] দ্বারা আবস্থ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

উত্তর: [চিত্র] ধরি, [গণিত] (1) ও (2) নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হয়, [গণিত] অথবা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অতএব, [গণিত] (1) নং ও (2) নং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

এবং দ্বারা আবস্থ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

উদ্দীপক

y1=x,y2=x2y_1=\sqrt{x}, y_2=x^2 এবং y3=sin⁡3xy_3=\sin^3 x.

উত্তর

প্রদত্ত রাশি =∫ln⁡eln⁡2tdt=\int \ln e^{\ln 2 t} d t =∫ln⁡(2t)dt=ln⁡(2t)∫dt−∫{ddx(ln⁡2t)∫dt}dt=t⋅ln⁡(2t)−∫{12t×2×t}dt=t⋅ln⁡(2t)−∫dt=tln⁡(2t)−t+c.\begin{aligned} & =\int \ln (2 t) d t \\ & =\ln (2 t) \int d t-\int\left\{\frac{d}{d x}(\ln 2 t) \int d t\right\} d t \\ & =t \cdot \ln (2 t)-\int\left\{\frac{1}{2 t} \times 2 \times t\right\} d t \\ & =t \cdot \ln (2 t)-\int d t \\ & =t \ln (2 t)-t+c .\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, y1=xy3=sin⁡3x\begin{aligned}& y_1=\sqrt{x} \\& y_3=\sin^3 x\end{aligned} এবং ∫0ay1dx=2a∫0π2y3dx\int_0^a y_1 d x=2 a \int_0^{\frac{\pi}{2}} y_3 d x বা, ∫0axdx=2a∫0π2sin⁡3xdx\int_0^a \sqrt{x} d x=2 a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x d x বা, ∫0ax12dx=12a∫0π24sin⁡3xdx\int_0^a x^{\frac{1}{2}} d x=\frac{1}{2} a \int_0^{\frac{\pi}{2}} 4 \sin^3 x d x বা, [x12+112+1]0a=12a∫0π2(3sin⁡x−sin⁡3x)dx\left[\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_0^{\mathrm{a}}=\frac{1}{2^{\mathrm{a}}} \int_0^{\frac{\pi}{2}}(3 \sin \mathrm{x}-\sin 3 \mathrm{x}) \mathrm{dx} বা, [x3232]0a=12a[−3cos⁡x+cos⁡3x3]0π2\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^a=\frac{1}{2} a\left[-3 \cos x+\frac{\cos 3 x}{3}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} বা, 23a32−0=12a(0+0+3−13)\frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}}-0=\frac{1}{2} a\left(0+0+3-\frac{1}{3}\right) বা, 23a32=12a×83\frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2} a \times \frac{8}{3} বা, 23a32=43a\frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3} a বা, a32a=4323\frac{a^{\frac{3}{2}}}{a}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} বা, a12=2a^{\frac{1}{2}}=2 বা, a=22\mathrm{a}=2^2 [বর্গ করে] ∴a=4\therefore \quad a=4 প্রদত্ত রাশি =∫aa+1xdx=\int_a^{a+1} x d x =∫44+1xdx=∫45xdx=[x22]45=[522−422]=[252−162]=92\begin{aligned} & =\int_4^{4+1} x d x \\ & =\int_4^5 x d x=\left[\frac{x^2}{2}\right]_4^5 \\ & =\left[\frac{5^2}{2}-\frac{4^2}{2}\right]=\left[\frac{25}{2}-\frac{16}{2}\right]=\frac{9}{2}\end{aligned} নির্ণেয় মান : 92\frac{9}{2}.

উত্তর

question image ধরি, y=y1=xy=y_1=\sqrt{x}….(1)\ldots.(1) এবং y=y2=x2\mathrm{y}=\mathrm{y}_2=\mathrm{x}^2….(2)\ldots.(2) (1) ও (2) নং হতে পাই, x2=xx^2=\sqrt{x} বা, x4=xx^4=x [বর্গ করে] বা, x4−x=0x^4-x=0 বা, x(x3−1)=0x\left(x^3-1\right)=0 হয়, x=0x=0 অথবা, x3−1=0x^3-1=0 বা, x3=1x^3=1 বা, x=1x=1 অতএব, x=0,1x=0,1 (1) নং ও (2) নং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =∫01(y1−y2)dx=∫01(x−x2)dx=∫01xdx−∫01x2dx=[x2332]01−[x33]01\begin{aligned} & =\int_0^1\left(y_1-y_2\right) d x=\int_0^1\left(\sqrt{x}-x^2\right) d x \\ & =\int_0^1 \sqrt{x} d x-\int_0^1 x^2 d x=\left[\frac{\frac{x^2}{3}}{\frac{3}{2}}\right]_0^1-\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1\end{aligned} =(23−0)−(13−0)÷23−13=13=\left(\frac{2}{3}-0\right)-\left(\frac{1}{3}-0\right) \div \frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3} বর্গ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 13\frac{1}{3} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন