Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এর উপবৃত্ত এবং [গণিত] সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: [চিত্র] ধরি, উপবৃত্তটি [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [∵ প্রথম চতুর্ভাগে [গণিত] ধনাত্মক] এবং [গণিত] ∴ [গণিত] ধরি, [গণিত] বা, [গণিত] [চিত্র] উপবৃত্ত ও রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] [চিত্র] নির্ণেয় ক্ষেত্রফল : [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এর উপবৃত্ত এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্রে…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: z=ln⁡xz = \ln x একটি লগারিদমিক ফাংশন। দৃশ্যকল্প-২: question image

উত্তর

ধরি, 1+x2=z1+x^2=\mathrm{z} বা, 2xdx=dz2 \mathrm{xdx}=\mathrm{dz} ∴xdx=12dz\therefore \quad \mathrm{xdx}=\frac{1}{2} \mathrm{dz} ∫1+x1+x2dx=∫11+x2dx+∫x1+x2dx=tan⁡−1x+∫x1+x2dx=tan⁡−1x+∫12dzz=tan⁡−1x+12∫1zdz\begin{aligned} & \int \frac{1+x}{1+x^2} d x \\ & =\int \frac{1}{1+x^2} d x+\int \frac{x}{1+x^2} d x \\ & =\tan^{-1} x+\int \frac{x}{1+x^2} d x \\ & =\tan^{-1} x+\int \frac{\frac{1}{2} d z}{z} \\ & =\tan^{-1} x+\frac{1}{2} \int \frac{1}{z} d z\end{aligned} =tan⁡−1x+12ln⁡z+c;=\tan^{-1} x+\frac{1}{2} \ln z+c ; যেখানে cc যোগজীকরণ ধ্রুবক =tan⁡−1x+12ln⁡(1+x2)+c=\tan^{-1} x+\frac{1}{2} \ln \left(1+x^2\right)+c নির্ণেয় মান: tan⁡−1x+12ln⁡(1+x2)+c\tan^{-1} x+\frac{1}{2} \ln \left(1+x^2\right)+c

উত্তর

দেওয়া আছে, z=ln⁡xz=\ln x ধরি,I=∫sin⁡(z)dxI =\int \sin (z) d x =∫sin⁡(ln⁡x)dx=\int \sin (\ln x) d x =sin⁡(ln⁡x)∫dx−∫{ddxsin⁡(ln⁡x)∫dx}dx=\sin (\ln x) \int d x-\int\left\{\frac{d}{d x} \sin (\ln x) \int d x\right\} d x =sin⁡(ln⁡x)⋅x−∫cos⁡(ln⁡x)1xxdx=\sin (\ln x) \cdot x-\int \cos (\ln x) \frac{1}{x} x d x =xsin⁡(ln⁡x)−∫cos⁡(ln⁡x)dx=x \sin (\ln x)-\int \cos (\ln x) d x =xsin⁡(ln⁡x)−[cos⁡(ln⁡x)∫dx−∫{ddxcos⁡(ln⁡x)∫dx}dx]=x \sin (\ln x)-\left[\cos (\ln x) \int d x-\int\left\{\frac{d}{d x} \cos (\ln x) \int d x\right\} d x\right] =xsin⁡(ln⁡x)−[cos⁡(ln⁡x)⋅x+∫sin⁡(ln⁡x)⋅1x⋅xdx]=xsin⁡(ln⁡x)−xcos⁡(ln⁡x)−∫sin⁡(ln⁡x)dx=xsin⁡(ln⁡x)−xcos⁡(ln⁡x)−I+c∴I+I=x{sin⁡(ln⁡x)−cos⁡(ln⁡x)}+c2I=x{sin⁡(ln⁡x)−cos⁡(ln⁡x)}+c∴I=x2{sin⁡(ln⁡x)−cos⁡(ln⁡x)}+c∴∫sin⁡(z)dx=x2{sin⁡(ln⁡x)−cos⁡(ln⁡x)}+c.\begin{aligned} &=x \sin (\ln x)-\left[\cos (\ln x) \cdot x+\int \sin (\ln x) \cdot \frac{1}{x} \cdot x d x\right] \\ &=x \sin (\ln x)-x \cos (\ln x)-\int \sin (\ln x) d x \\ &=x \sin (\ln x)-x \cos (\ln x)-I+c \\ & \therefore \quad I+I=x\{\sin (\ln x)-\cos (\ln x)\}+c \\ & \quad 2 I=x\{\sin (\ln x)-\cos (\ln x)\}+c \\ & \therefore \quad I=\frac{x}{2}\{\sin (\ln x)-\cos (\ln x)\}+c \\ & \therefore \quad \int \sin (z) d x=\frac{x}{2}\{\sin (\ln x)-\cos (\ln x)\}+c .\end{aligned}

উত্তর

question image ধরি, উপবৃত্তটি x232+y242=1\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{4^2}=1 বা, y242=1−x232=9−x29\frac{y^2}{4^2}=1-\frac{x^2}{3^2}=\frac{9-x^2}{9} বা, y=±439−x2y= \pm \frac{4}{3} \sqrt{9-x^2} ∴y=439−x2\therefore y=\frac{4}{3} \sqrt{9-x^2} [∵ প্রথম চতুর্ভাগে yy ধনাত্মক] এবং x−2=0x - 2 = 0 ∴ x=2x = 2 ধরি, x=3sin⁡θx=3 \sin \theta বা, dx=3cos⁡θdθd x=3 \cos \theta d \theta question image উপবৃত্ত ও রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =2∫23ydx=2∫23439−x2dx=2⋅43∫239−x2dx=2 \int_2^3 y d x=2 \int_2^3 \frac{4}{3} \sqrt{9-x^2} d x=2 \cdot \frac{4}{3} \int_2^3 \sqrt{9-x^2} d x =83∫239−(3sin⁡θ)2⋅3cos⁡θdθ=83∫sin⁡−123π29(1−sin⁡2θ)⋅3cos⁡θdθ\begin{aligned} & =\frac{8}{3} \int_2^3 \sqrt{9-(3 \sin \theta)^2} \cdot 3 \cos \theta d \theta \\ & =\frac{8}{3} \int_{\sin^{-1} \frac{2}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9\left(1-\sin^2 \theta\right)} \cdot 3 \cos \theta d \theta\end{aligned} =83∫sin⁡−123π23cos⁡θ⋅3cos⁡θdθ=83×9∫sin⁡−123π2cos⁡2θdθ=4×3∫sin⁡−123π22cos⁡2θdθ=12∫sin⁡−123π2(1+cos⁡2θ)dθ\begin{aligned} & =\frac{8}{3} \int_{\sin^{-1} \frac{2}{3}}^{\frac{\pi}{2}} 3 \cos \theta \cdot 3 \cos \theta d \theta \\ & =\frac{8}{3} \times 9 \int_{\sin^{-1} \frac{2}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d \theta \\ & =4 \times 3 \int_{\sin^{-1} \frac{2}{3}}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos^2 \theta d \theta \\ & =12 \int_{\sin^{-1} \frac{2}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2 \theta) d \theta\end{aligned} =12[θ+sin⁡2θ2]−sin⁡−1π3=12[θ+2sin⁡θ⋅cos⁡θ2]sin⁡−123π2=12[(π2+sin⁡π2⋅cos⁡π2)−(sin⁡−123+23⋅53)]\begin{aligned} & =12\left[\theta+\frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_{-\sin }-1 \frac{\pi}{3} \\ & =12\left[\theta+\frac{2 \sin \theta \cdot \cos \theta}{2}\right]_{\sin^{-1} \frac{2}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \\ & =12\left[\left(\frac{\pi}{2}+\sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{2}\right)-\left(\sin^{-1} \frac{2}{3}+\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}\right)\right]\end{aligned} =12(π2+0−sin⁡−123−259)=12(π2−sin⁡−123−259)\begin{aligned} & =12\left(\frac{\pi}{2}+0-\sin^{-1} \frac{2}{3}-\frac{2 \sqrt{5}}{9}\right) \\ & =12\left(\frac{\pi}{2}-\sin^{-1} \frac{2}{3}-\frac{2 \sqrt{5}}{9}\right)\end{aligned} ∴sin⁡−123=cos⁡−153\therefore \sin^{-1} \frac{2}{3}=\cos^{-1} \frac{\sqrt{5}}{3} question image নির্ণেয় ক্ষেত্রফল : 12(π2−sin⁡−123−259)12\left(\frac{\pi}{2}-\sin^{-1} \frac{2}{3}-\frac{2 \sqrt{5}}{9}\right) বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন