Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এবং [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: (i) দেওয়া আছে, [গণিত] এখানে, [গণিত] নির্ণেয় মান : [গণিত] . (ii) দেওয়া আছে, [গণিত] এখানে, [গণিত] নির্ণেয় মান : [গণিত] .

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

I1I_1 এবং I2I_2 এর মান নির্ণয় কর। ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

(i) দেওয়া আছে, I1=∫13xtan⁡−1xdxI_1=\int_1^{\sqrt{3}} x \tan^{-1} x d x এখানে, ∫xtan⁡−1xdx\int x \tan^{-1} x d x =tan⁡−1x∫xdx−∫{ddx(tan⁡−1x)∫xdx}dx=\tan^{-1} x \int x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}\left(\tan^{-1} x\right) \int x d x\right\} d x =12x2tan⁡−1x−12∫x21+x2dx=\frac{1}{2} x^2 \tan^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} d x =12x2tan⁡−1x−12∫1+x2−11+x2dx=\frac{1}{2} x^2 \tan^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{1+x^2-1}{1+x^2} d x =12x2tan⁡−1x−12∫dx+12∫dx1+x2=\frac{1}{2} x^2 \tan^{-1} x-\frac{1}{2} \int d x+\frac{1}{2} \int \frac{d x}{1+x^2} =12x2tan⁡−1x−12x+12tan⁡−1x=\frac{1}{2} x^2 \tan^{-1} x-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \tan^{-1} x ∴∫13xtan⁡−1xdx=[12x2tan⁡−1x−12x+12tan⁡−1x]13\therefore \int_1^{\sqrt{3}} x \tan^{-1} x d x=\left[\frac{1}{2} x^2 \tan^{-1} x-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \tan^{-1} x\right]_1^{\sqrt{3}} ={12(3)tan⁡−13−12⋅3+12tan⁡−13}=\left\{\frac{1}{2}(3) \tan^{-1} \sqrt{3}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}+\frac{1}{2} \tan^{-1} \sqrt{3}\right\} −(12tan⁡−11−12+12tan⁡−11)-\left(\frac{1}{2} \tan^{-1} 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \tan^{-1} 1\right) =(32⋅π3−32+12⋅π3)−(12⋅π4−12+12⋅π4)=\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right)-\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}\right) =π2+π6−π4−32+12=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} =5π12−32+12=112(5π−63+6)=\frac{5 \pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{12}(5 \pi-6 \sqrt{3}+6) নির্ণেয় মান : I1=112(5π−63+6)I_1=\frac{1}{12}(5 \pi-6 \sqrt{3}+6). (ii) দেওয়া আছে, I2=∫1exln⁡xdx\mathrm{I}_2=\int_1^{\sqrt{e}} \mathrm{x} \ln \mathrm{x} d x এখানে, ∫xln⁡xdx=ln⁡x∫xdx−∫{ddx(ln⁡x)∫xdx}dx\int x \ln x d x=\ln x \int_{x d x}-\int\left\{\frac{d}{d x}(\ln x) \int x d x\right\} d x =ln⁡x(x22)−∫1xx22dx=x22ln⁡x−∫x2dx=\ln x\left(\frac{x^2}{2}\right)-\int \frac{1}{x} \frac{x^2}{2} d x=\frac{x^2}{2} \ln x-\int \frac{x}{2} d x =x22ln⁡x−x24=x22(ln⁡x−12)=\frac{x^2}{2} \ln x-\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{2}\left(\ln x-\frac{1}{2}\right) ∴∫1exlog⁡xdx=[x22(ln⁡x−12)]1e\therefore \int_1^{\sqrt{e}} x \log x d x =\left[\frac{x^2}{2}\left(\ln x-\frac{1}{2}\right)\right]_1^{\sqrt{e}} =e2(ln⁡e−12)−12(ln⁡1−12)=\frac{\mathrm{e}}{2}\left(\ln \sqrt{\mathrm{e}}-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(\ln 1-\frac{1}{2}\right) =e2(12ln⁡e−12)+14=e2(12−12)+14=14=\frac{\mathrm{e}}{2}\left(\frac{1}{2} \ln \mathrm{e}-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}=\frac{\mathrm{e}}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}=\frac{1}{4} নির্ণেয় মান : I2=14\mathrm{I}_2=\frac{1}{4}.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন