Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] . (i) বা, [গণিত] বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0, 0) এবং ব্যাসার্ধ = 4 একক [চিত্র] (i)নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] যেহেতু [গণিত] -অক্ষের উপরের অংশে [গণিত] ধনাত্মক অর্থাৎ [গণিত] ধরি, [গণিত] হলে, [গণিত] এবং [গণিত] হলে [গণিত] বৃত্তের ক্ষেত্রফল [গণিত] অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

এর বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

(i) f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^2}, (ii) x2+y2=16x^2+y^2=16 একটি বৃত্তের সমীকরণ।

উত্তর

ধরি, প্রদত্ত রাশি I=∫x2sin⁡x dxI = \int x^2 \sin x \, dx এখানে LIATE\text{LIATE} নিয়ম অনুসারে x2x^2 কে uu এবং sin⁡x\sin x কে vv ধরে আংশিক যোগজীকরণ (Integration by parts) করে পাই, I=x2∫sin⁡x dx−∫{ddx(x2)∫sin⁡x dx}dxI = x^2 \int \sin x \, dx - \int \left\{ \frac{d}{dx}(x^2) \int \sin x \, dx \right\} dx =x2(−cos⁡x)−∫{2x(−cos⁡x)}dx= x^2 (-\cos x) - \int \left\{ 2x (-\cos x) \right\} dx =−x2cos⁡x+2∫xcos⁡x dx= -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \, dx পুনরায় আংশিক যোগজীকরণ করে পাই, =−x2cos⁡x+2[x∫cos⁡x dx−∫{ddx(x)∫cos⁡x dx}dx]= -x^2 \cos x + 2 \left[ x \int \cos x \, dx - \int \left\{ \frac{d}{dx}(x) \int \cos x \, dx \right\} dx \right] =−x2cos⁡x+2[xsin⁡x−∫1⋅sin⁡x dx]= -x^2 \cos x + 2 \left[ x \sin x - \int 1 \cdot \sin x \, dx \right] =−x2cos⁡x+2[xsin⁡x−(−cos⁡x)]+c[c= -x^2 \cos x + 2 [ x \sin x - (-\cos x) ] + c \quad [c হলো যোগজীকরণ ধ্রুবক ]] =−x2cos⁡x+2xsin⁡x+2cos⁡x+c= -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + c নির্ণেয় মান: −x2cos⁡x+2xsin⁡x+2cos⁡x+c-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + c

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=9−x2f(x) = \sqrt{9 - x^2} প্রদত্ত রাশি =∫03f(x) dx=∫039−x2 dx= \int_0^3 f(x) \, dx = \int_0^3 \sqrt{9 - x^2} \, dx ধরি, x=3sin⁡θx = 3 \sin \theta ∴dx=3cos⁡θ dθ\therefore dx = 3 \cos \theta \, d\theta সীমা পরিবর্তন: question image মান বসিয়ে পাই, =∫0π29−(3sin⁡θ)2⋅3cos⁡θ dθ= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9 - (3\sin\theta)^2} \cdot 3\cos\theta \, d\theta =∫0π29−9sin⁡2θ⋅3cos⁡θ dθ= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9 - 9\sin^2\theta} \cdot 3\cos\theta \, d\theta =∫0π29(1−sin⁡2θ)⋅3cos⁡θ dθ= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9(1 - \sin^2\theta)} \cdot 3\cos\theta \, d\theta =∫0π23cos⁡θ⋅3cos⁡θ dθ= \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3\cos\theta \cdot 3\cos\theta \, d\theta =9∫0π2cos⁡2θ dθ= 9 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta =92∫0π22cos⁡2θ dθ= \frac{9}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\cos^2\theta \, d\theta =92∫0π2(1+cos⁡2θ) dθ[∵2cos⁡2θ=1+cos⁡2θ]= \frac{9}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta \quad [\because 2\cos^2\theta = 1 + \cos 2\theta] =92[θ+sin⁡2θ2]0π2= \frac{9}{2} \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} =92[(π2+sin⁡π2)−(0+sin⁡02)]= \frac{9}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\sin \pi}{2} \right) - \left( 0 + \frac{\sin 0}{2} \right) \right] =92[(π2+0)−(0+0)]= \frac{9}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) - (0 + 0) \right] =92×π2=9π4= \frac{9}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{4} নির্ণেয় মান: 9π4\frac{9\pi}{4}

উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2=16x^2+y^2=16 …….(i)\ldots\ldots. (i) বা, x2+y2=42x^2+y^2=4^2 বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0, 0) এবং ব্যাসার্ধ = 4 একক question image (i)নং হতে পাই, x2+y2=16x^2+y^2=16 বা, y2=16−x2y^2=16-x^2 ∴y=±16−x2\therefore y= \pm \sqrt{16-x^2} যেহেতু xx-অক্ষের উপরের অংশে yy ধনাত্মক অর্থাৎ y=16−x2y=\sqrt{16-x^2} ধরি, x=4sin⁡θx=4 \sin \theta ∴dx=4cos⁡θ dθ\therefore \mathrm{dx}=4 \cos \theta \mathrm{~d} \theta x=0x=0 হলে, θ=0\theta=0 এবং x=4x=4 হলে θ=π2\theta=\frac{\pi}{2} বৃত্তের ক্ষেত্রফল =4×AOB=4 \times \mathrm{AOB} অংশের ক্ষেত্রফল =4∫04ydx=4∫0416−x2dx=4 \int_0^4 y d x=4 \int_0^4 \sqrt{16-x^2} d x =4∫0π216−(4sin⁡θ)2⋅4cos⁡θdθ=4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{16-(4 \sin \theta)^2} \cdot 4 \cos \theta d \theta =4∫0π216−16sin⁡2θ⋅4cos⁡θdθ=4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{16-16 \sin^2 \theta} \cdot 4 \cos \theta d \theta =4∫0π216(1−sin⁡2θ)4cos⁡θdθ=4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{16\left(1-\sin^2 \theta\right)} 4 \cos \theta d \theta =4∫0π24⋅1−sin⁡2θ⋅4cos⁡θdθ=4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} 4 \cdot \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cdot 4 \cos \theta d \theta =4∫0π24⋅cos⁡2θ⋅4cos⁡θdθ=32∫0π22cos⁡2θdθ=4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} 4 \cdot \sqrt{\cos^2 \theta} \cdot 4 \cos \theta d \theta=32 \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos^2 \theta d \theta =32∫0π2(1+cos⁡2θ)dθ=32[θ+sin⁡2θ2]0π2=32 \int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2 \theta) d \theta=32\left[\theta+\frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} =32[π2+12sin⁡(2⋅π2)]−32(0+0)=32\left[\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right]-32(0+0) =32(π2+0)−0=32×π2=16π=32\left(\frac{\pi}{2}+0\right)-0=32 \times \frac{\pi}{2}=16 \pi নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 16π16 \pi বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন