Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের বক্ররেখা এবং x – y + 6 = 0 সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: বক্সরেখার সমীকরণ, y = x2 [গণিত] .. (ii) সরলরেখার সমীকরণ, x – y + 6 = 0 [গণিত] ... (i) [চিত্র] (i) x (ii) হতে, [গণিত] ছেদ বিন্দুদ্বয় [গণিত] এবং [গণিত] . [গণিত] নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] একক [গণিত] বক্সরেখা এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপকের বক্ররেখা এবং x – y + 6 = 0 সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের…

উদ্দীপক

(i) f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin 2x এবং (ii) y = x3 একটি বক্ররেখার সমীরকণ।

উত্তর

বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর। Let, u=exu =e^x ⇒dudx=ex\Rightarrow \frac{d u}{d x} =e^x ⇒dx=e−xdu\Rightarrow d x =e^{-x} d u =1exdu=\frac{1}{e^x} d u =1udu=\frac{1}{u} d u ∫1ex+e−xdx\int \frac{1}{e^x+e^{-x}} d x =∫1u+1u×1udu=\int \frac{1}{u+\frac{1}{u}} \times \frac{1}{u} d u =∫uu2+1×1udu=\int \frac{u}{u^2+1} \times \frac{1}{u} d u =∫11+u2du=\int \frac{1}{1+u^2} d u =tan⁡−1(u)+c=\tan^{-1}(u)+c =tan⁡−1(ex)+C=\tan^{-1}\left(e^x\right)+C

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin^2 x f(x−π/2)=sin⁡2(x+π/2)f(x-\pi / 2)=\sin^2(x+\pi / 2) =[sin⁡{(π/2−x)}]2=[\sin \{(\pi / 2-x)\}]^2 =(−cos⁡x)2=(-\cos x)^2 =cos⁡2x=\cos^2 x Let, tan⁡x=t\tan x=t ⇒ddxtan⁡x=ddxt\Rightarrow \frac{d}{d x} \tan x=\frac{d}{d x} t ∴sec⁡2xdx=dt\therefore \sec^2 x d x=d t x 0
π/4t01\pi/4 t 0 1
এখানে, ∫0π/4dx1+3f(x−π/2)=∫0π/4dx1+3cos⁡2x\int_0^{\pi / 4} \frac{d x}{1+3 f(x-\pi / 2)}=\int_0^{\pi / 4} \frac{d x}{1+3 \cos^2 x} =∫0π/4sec⁡2xsec⁡2x+3⋅cos⁡2x⋅sec⁡2xdx=∫0π/4sec⁡2x1+tan⁡2x+3dx=∫0π/4sec⁡2x4+tan⁡2xdx\begin{aligned} & =\int_0^{\pi / 4} \frac{\sec^2 x}{\sec^2 x+3 \cdot \cos^2 x \cdot \sec^2 x} d x \\ & =\int_0^{\pi / 4} \frac{\sec^2 x}{1+\tan^2 x+3} d x \\ & =\int_0^{\pi / 4} \frac{\sec^2 x}{4+\tan^2 x} d x\end{aligned} =∫01dt4+t2=\int_0^{1} \frac{d t}{4+t^2} =∫01dt22+t2=\int_0^{1} \frac{d t}{2^2+t^2} =[12tan⁡−1t2]01=\left[\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{t}{2}\right]_0^1 =12(tan⁡−11/2−tan⁡−10)=\frac{1}{2}\left(\tan^{-1} 1 / 2-\tan^{-1} 0\right) =12tan⁡−112=\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{1}{2} (Ans)

উত্তর

বক্সরেখার সমীকরণ, y = x2 ……..(ii)\ldots\ldots.. (ii) সরলরেখার সমীকরণ, x – y + 6 = 0 …...(i)\ldots... (i) question image (i) x (ii) হতে, x−x2+6=0x-x^{2}+6=0 ⇒x2−x+6=0\Rightarrow x^{2}-x+6=0 ⇒x2−3x+2x−6=0\Rightarrow x^{2}-3 x+2 x-6=0 ⇒x(x−3)+2(x−3)=0\Rightarrow x(x-3)+2(x-3)=0 ∴(x+2)(x−3)=0\therefore (x+2)(x-3)=0 ∴x=−2,3\therefore x=-2,3 ∴y=4,9\therefore y=4,9 ছেদ বিন্দুদ্বয় B(−2,4)B(-2,4) এবং A(3,9)A(3,9). ∴\therefore নির্ণেয় ক্ষেত্রফল =∫−23(y2−y1)dx=\int_{-2}^{3}\left(y_{2}-y_{1}\right) d x =∫−23(x+6−x2)dx=\int_{-2}^{3}\left(x+6-x^{2}\right) d x =[x22+6x−x33]−23=\left[\frac{x^{2}}{2}+6 x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{3} =(92+63−333)−{42+6(−2)−(−2)23}=\left(\frac{9}{2}+63-\frac{3^{3}}{3}\right)-\left\{\frac{4}{2}+6(-2)-\frac{(-2)^{2}}{3}\right\} =(92+18−9)−(2−12+83)=\left(\frac{9}{2}+18-9\right)-\left(2-12+\frac{8}{3}\right) =272−(−223)=\frac{27}{2}-\left(-\frac{22}{3}\right) =272+223=\frac{27}{2}+\frac{22}{3} =1256=\frac{125}{6} একক ∴\therefore বক্সরেখা এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1256\frac{125}{6} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন