Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

f(x) ও g(x) বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] (i) ও (ii) হতে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ছেদবিন্দুদ্বয়ের ভুজ 1 ও -1 [গণিত] আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

f(x) ও g(x) বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(y)=y2f(y)=y^2 এবং g(y)=2−y2g(y)=2-y^2 দুইটি ফাংশন।

উত্তর

ধরি, z=1+ln⁡xz=1+\ln x ⇒dzdx=1x\Rightarrow \frac{d z}{d x}=\frac{1}{x} ∴dz=dxx\therefore d z=\frac{d x}{x} x e3 1 z 4 1 ∫1e2dxx(1+ln⁡x)\int_{1}^{e^{2}} \frac{d x}{x(1+\ln x)} =∫14dzz=\int_{1}^{4} \frac{d z}{z} =[ln⁡z]14=[\ln z]_{1}^{4} =ln⁡4−ln⁡1=\ln 4-\ln 1 =ln⁡4−0=\ln 4-0 =ln⁡4=\ln 4

উত্তর

দেওয়া আছে, f(y)=y2g(y)=2−y2∴f(x)=x2g(x)=2−x2\begin{array}{ll}f(y)=y^2 & g(y)=2-y^2 \\ \therefore f(x)=x^2 & g(x)=2-x^2\end{array} \therefore \int \frac{1}{g(x} f(x)} d x=\int \frac{1}{\left(2-x^{2}\right) x^{2}} d x 1x2(2−x2)≡Ax+Bx2+Cx+D2−xC…(i)\frac{1}{x^{2}\left(2-x^{2}\right)} \equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C x+D}{2-x^{C}} \ldots (i) উভয়পক্ষকে হরগুলোর ল.সা.গু দ্বারা গুণ করে, 1=Ax(2−x2)+B(2−x2)+(Cx+D)x2….(ii)1 =A x\left(2-x^{2}\right)+B\left(2-x^{2}\right)+(C x+D) x^{2} \ldots. (ii) ⇒1=2xA−x3A+2B−x2B+Cx2+x2D\Rightarrow 1 =2 x A-x^{3} A+2 B-x^{2} B+C x^{2}+x^{2} D ⇒1=2xA+−x⋅(−A+C)x2+(−B+D)x2+2B\Rightarrow 1 =2 x A+-x \cdot(-A+C) x^{2}+(-B+D) x^{2}+2 B ⇒1=(−A+C)x2+(−B+D)x2+2Ax+2B…..(iii)\Rightarrow 1 =(-A+C) x^{2}+(-B+D) x^{2}+2 A x+2 B \ldots.. (iii) (iii) নং হতে x3, x2, x এবং ধ্রুব পদের সহগ সমীকৃত করে পাই, A+C=0….(iv)A+C =0 \ldots. (iv) B+D=0…(v)B+D =0 \ldots (v) 2A=0….(vi)2 A =0 \ldots. (vi) 2B=12 B =1 ∴B=12\therefore B =\frac{1}{2} (iv) হতে, 2A=02 A =0 ∴A=0\therefore A =0 (v) হতে, −B+D=0-B+D=0 ⇒D=B=12\Rightarrow D=B=\frac{1}{2} (iv) হতে, −A+C=0-A+C=0 ⇒C=A=0\Rightarrow C=A =0 A,B,C,DA, B, C, D এর মান (i) নং এ বসিয়ে, 1x2(2−x2)≡0x+1/2x2+0⋅x+1/22−x2\frac{1}{x^{2}\left(2-x^{2}\right)} \equiv \frac{0}{x}+\frac{1 / 2}{x^{2}}+\frac{0 \cdot x+1 / 2}{2-x^{2}} =12x2+12(2−x2)=\frac{1}{2 x^{2}}+\frac{1}{2\left(2-x^{2}\right)} ∫1(2−x2)x2dx=∫{12x2+12(2−x2)}dx\int \frac{1}{\left(2-x^{2}\right) x^{2}} d x =\int\left\{\frac{1}{2 x^{2}}+\frac{1}{2\left(2-x^{2}\right)}\right\} d x =12∫dxx2+12∫dx2−x2=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x^{2}}+\frac{1}{2} \int \frac{d x}{2-x^{2}} =12×(−2)×1x+12∫dx(2)2−x2=\frac{1}{2} \times(-2) \times \frac{1}{x}+\frac{1}{2} \int \frac{d x}{(\sqrt{2})^{2}-x^{2}} =−1x+12⋅122ln⁡2+x2−x=-\frac{1}{x}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln \frac{\sqrt{2}+x}{\sqrt{2-x}} =142ln⁡2+x2−x−1x=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \ln \frac{\sqrt{2}+x}{\sqrt{2-x}}-\frac{1}{x} Ans.

উত্তর

question image দেওয়া আছে, f(y)=y2f(y)=y^{2} ∴y=f(x)=x2\therefore y=f(x)=x^{2} এবং g(y)=2−y2g(y)=2-y^2 ∴y=g(x)=2−x2\therefore y=g(x)=2-x^{2} (i) ও (ii) হতে, x2=2−x2x^{2}=2-x^{2} বা, 2x2=22 x^{2}=2 বা, x2=1x^{2}=1 ∴x=±1\therefore x= \pm 1 ∴\therefore ছেদবিন্দুদ্বয়ের ভুজ 1 ও -1 ∴\therefore আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =∫−11(y1−y2)dx=\int_{-1}^{1}\left(y_{1}-y_{2}\right) d x =∫−11(2−x2−x2)dx=\int_{-1}^{1}\left(2-x^{2}-x^{2}\right) d x =∫−11(2−2x2)dx=\int_{-1}^{1}\left(2-2 x^{2}\right) d x =2∫−11(1−x2)dx=2 \int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right) d x =2∫−11dx−2∫−11x2dx=2 \int_{-1}^{1} d x-2 \int_{-1}^{1} x^{2} d x =2[x]−11−2⋅[x33]−11=2[x]_{-1}^{1}-2 \cdot\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} =2[1−(−1)]−2⋅13⋅[13−(−1)3]=2[1-(-1)]-2 \cdot \frac{1}{3} \cdot\left[1^{3}-(-1)^{3}\right] =2⋅(1+1)−23(1+1)=2 \cdot(1+1)-\frac{2}{3}(1+1) =2⋅2−23:2=2 \cdot 2-\frac{2}{3}: 2 =4−43=4-\frac{4}{3} =12−43=\frac{12-4}{3} =83=\frac{8}{3} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন