Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা প্রকাশিত বৃত্ত এবং [গণিত] রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] (1) নং ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] (3) [গণিত] [চিত্র] [গণিত] (3) নং বৃত্ত এবং [গণিত] রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] ক্ষুদ্রতম অথশের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

ও দ্বারা প্রকাশিত বৃত্ত এবং রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্রের…

উদ্দীপক

f(θ)=sin⁡θf(\theta)=\sin \theta

Dinajpur · 2025

উত্তর

∫11+tan⁡xdx=∫11+sin⁡xcos⁡xdx=∫cos⁡xcos⁡x+sin⁡xdx=∫12⋅2cos⁡xcos⁡x+sin⁡xdx=12∫(cos⁡x+sin⁡x)+(cos⁡x−sin⁡x)cos⁡x+sin⁡xdx=12∫(1+cos⁡x−sin⁡xcos⁡x+sin⁡x)dx=12∫[1+ddx(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡x+cos⁡x]dx=12[x+ln⁡∣sin⁡x+cos⁡x∣]+c[∵∫f′(x)f(x)dx=ln⁡∣f(x)∣+c]∴∫11+tan⁡xdx=12[x+ln⁡∣sin⁡x+cos⁡x∣]+c\begin{aligned} & \int \frac{1}{1+\tan x} d x \\ & =\int \frac{1}{1+\frac{\sin x}{\cos x}} d x=\int \frac{\cos x}{\cos x+\sin x} d x \\ & =\int \frac{\frac{1}{2} \cdot 2 \cos x}{\cos x+\sin x} d x=\frac{1}{2} \int \frac{(\cos x+\sin x)+(\cos x-\sin x)}{\cos x+\sin x} d x \\ & =\frac{1}{2} \int\left(1+\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right) d x=\frac{1}{2} \int\left[1+\frac{\frac{d}{d x}(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}\right] d x \\ & =\frac{1}{2}[x+\ln |\sin x+\cos x|]+c\left[\because \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} d x=\ln |f(x)|+c\right] \\ & \therefore \int \frac{1}{1+\tan x} d x=\frac{1}{2}[x+\ln |\sin x+\cos x|]+c\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(θ)=sin⁡θf(\theta)=\sin \theta ∴∫0πf(2x){f(π2+x)}4+{f(x)}4dx\therefore \int_0^\pi \frac{f(2 x)}{\left\{f\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\right\}^4+\{f(x)\}^4} d x =∫0π4sin⁡2x{sin⁡(π2+x)}4+sin⁡4xdx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{\left\{\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)\right\}^4+\sin^4 x} d x =∫0π4sin⁡2xcos⁡4x+sin⁡4xdx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{\cos^4 x+\sin^4 x} d x =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{\left(\cos^2 x+\sin^2 x\right}^2-2 \sin^2 x \cos^2 x} d x =∫0π4sin⁡2x1−12(2sin⁡xcos⁡x)2dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{1-\frac{1}{2}(2 \sin x \cos x)^2} d x =∫0π4sin⁡2x1−12sin⁡22xdx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{1-\frac{1}{2} \sin^2 2 x} d x =∫0π4sin⁡2x1−12(1−cos⁡22x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{1-\frac{1}{2}\left(1-\cos^2 2 x\right)} d x =∫0π4sin⁡2x1−12+12cos⁡2xdx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos^2 x} d x =∫0π4sin⁡2x2−1+cos⁡2x2dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{\frac{2-1+\cos^2 x}{2}} d x =∫0π42sin⁡2x1+cos⁡22xdx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2 \sin 2 x}{1+\cos^2 2 x} d x ধরি, cos⁡2x=z\cos 2 x=z বা, −2sin⁡2xdx=dz-2 \sin 2 x d x=d z question image =∫10−dz1+z2=\int_1^0 \frac{-d z}{1+z^2} =∫01dz1+z2=\int_0^1 \frac{d z}{1+z^2} =[tan⁡−1z]01=\left[\tan^{-1} z\right]_0^1 =tan⁡−11−tan⁡−10=π4=\tan^{-1} 1-\tan^{-1} 0=\frac{\pi}{4} নির্ণেয় মান : π4\frac{\pi}{4}.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(θ)=sin⁡θf(\theta)=\sin \theta ∴f′(θ)=cos⁡θ\therefore f^{\prime}(\theta)=\cos \theta আবার, x=5f′(θ)x=5 f^{\prime}(\theta) বা, x=5cos⁡θx=5 \cos \theta বা, x2=52cos⁡2θ….(1)x^2=5^2 \cos^2 \theta \ldots . (1) [বর্গ করে] এবং y=5f(θ)\mathrm{y}=5 f(\theta) বা, y=5sin⁡θy=5 \sin \theta বা, y2=52sin⁡2θ……..(2)y^2=5^2 \sin^2 \theta \ldots \ldots . .(2) [বর্গ করে] (1) নং ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, x2+y2=52(cos⁡2θ+sin⁡2θ)x^2+y^2=5^2\left(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta\right) বা, x2+y2=52x^2+y^2=5^2 ……(3)\ldots\ldots (3) ∴y=52−x2\therefore y=\sqrt{5^2-x^2} question image ∴\therefore (3) নং বৃত্ত এবং x=3x = 3 রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল =2∫35ydx=2 \int_3^5 y d x =2∫3552−x2dx= 2 \int_3^5 \sqrt{5^2-x^2} d x =2[x52−x22+522sin⁡−1x5]35= 2\left[\frac{x \sqrt{5^2-x^2}}{2}+\frac{5^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{5}\right]_3^5 [∵a2−x2dx=xa2−x22+a22sin⁡−1xa]\left[\because \sqrt{a^2-x^2} d x=\frac{x \sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a}\right] =2[(552−522+522sin⁡−155)=2\left[\left(\frac{5 \sqrt{5^2-5^2}}{2}+\frac{5^2}{2} \sin^{-1} \frac{5}{5}\right)\right. −(352−322+522sin⁡−135)]\left.-\left(\frac{3 \sqrt{5^2-3^2}}{2}+\frac{5^2}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}\right)\right] =2[0+252×π2122−252sin⁡−135]=2\left[0+\frac{25}{2} \times \frac{\pi}{2} \frac{12}{2}-\frac{25}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}\right] =25π2−25sin⁡−135−12=\frac{25 \pi}{2}-25 \sin^{-1} \frac{3}{5}-12 =25{π2−sin⁡−1(35)}−12=25\left\{\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\right\}-12 ∴\therefore ক্ষুদ্রতম অথশের ক্ষেত্রফল =25{π2−sin⁡−1(35)}−12=25\left\{\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\right\}-12 বর্গ একক
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন