Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] বক্ররেখা এবং [গণিত] সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] সরলরেখার সমীকরণ, [গণিত] . (ii) (i) নং ও (ii) নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবস্থক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রফল : [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

বক্ররেখা এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

g(x)=x2g(x)=x^2 একটি কনিকের সমীকরণ।

Mymensingh · 2025

উত্তর

ধরি, u=x+3u=x+3 ∴du=dx\therefore d u=d x ∫dxx2+6x+13\int \frac{d x}{x^2+6 x+13} =∫dxx2+2⋅x⋅3+32+4=\int \frac{d x}{x^2+2 \cdot x \cdot 3+3^2+4} =\int \frac{d x}{(x+3}^2+2^2} =∫duu2+22=\int \frac{d u}{u^2+2^2} =12tan⁡−1(u2)+c=\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{u}{2}\right)+c [∵∫dzz2+a2=1atan⁡−1za+c]\left[\because \int \frac{d z}{z^2+a^2}=\frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{z}{a}+c\right] =12tan⁡−1(x+32)+c=\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x+3}{2}\right)+c নির্ণেয় যোগজফল : 12tan⁡−1(x+32)+c\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x+3}{2}\right)+c

উত্তর

১ম পদে ধরি, x=12x=\frac{1}{2} বা, dx=−1z2dzd x=-\frac{1}{z^2} d z question image দেওয়া আছে, g(x)=x2g(x)=x^2 এখন, \int_1^{\sqrt{3}} \frac{\left(1-x^2\right) d x}{g(x} \sqrt{4-g(x)}} =∫13(1−x2)dxx24−x2=\int_1^{\sqrt{3}} \frac{\left(1-x^2\right) d x}{x^2 \sqrt{4-x^2}} =∫13[1x24−x2−14−x2]dx=\int_1^{\sqrt{3}}\left[\frac{1}{x^2 \sqrt{4-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\right] d x =∫131x24−x2dx−∫1314−x2dx=\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2 \sqrt{4-x^2}} d x-\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} d x =∫113⋅−dzz21z24−1z2−∫13122−x2dx=\int_1^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \cdot \frac{-\frac{d z}{z^2}}{\frac{1}{z^2}} \sqrt{4-\frac{1}{z^2}}-\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{2^2-x^2}} d x =−∫11312dz124z2−1z−∫13122−x2dx=-\int_1^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{\frac{1}{2} d z}{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{4 z^2-1}{z}}}-\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{2^2-x^2}} d x আবার, ধরি, 4z2−1=w4 z^2-1=w ধরি, 8zdz=dw8 \mathrm{z} \mathrm{dz}=\mathrm{dw} ∴zdz=dw8\therefore z d z=\frac{d w}{8} question image =∫131zdz4z2−1−[sin⁡−1x2]13=\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^1 \frac{z d z}{\sqrt{4 z^2-1}}-\left[\sin^{-1} \frac{x}{2}\right]_1^{\sqrt{3}} [∵∫dxa2−x2=sin⁡−1xa]\left[\because \int \frac{d x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\sin^{-1} \frac{x}{a}\right] =∫13318w−12dw−(π3−π6)=\int_{\frac{1}{3}}^3 \frac{1}{8} w^{-\frac{1}{2}} d w-\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right) 18[w−12+1−12+1]3−2π−π6\frac{1}{8}\left[\frac{w^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}\right]^3-\frac{2 \pi-\pi}{6} =18[w1212]3−π6=\frac{1}{8}\left[\frac{w^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right]^3-\frac{\pi}{6} =14[3−13]−π6=\frac{1}{4}\left[\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right]-\frac{\pi}{6} =243−π6=123−π6=\frac{2}{4 \sqrt{3}}-\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2 \sqrt{3}}-\frac{\pi}{6} নির্ণেয় মান : 123−π6\frac{1}{2 \sqrt{3}}-\frac{\pi}{6}

উত্তর

question image দেওয়া আছে, g(x)=x2g(x)=x^2 এবং y=g(x)−6=x2−6y=g(x)-6=x^2-6 ∴y=x2−6……… (i) \therefore \mathrm{y}=\mathrm{x}^2-6 \ldots \ldots \ldots \text{ (i) } সরলরেখার সমীকরণ, y=xy=x
…….(ii)(i)\ldots\ldots. (ii) (i)
নং ও (ii) নং হতে পাই, ∴x=x2−6\therefore x=x^2-6 বা, x2−x−6=0x^2-x-6=0 বা, x2−3x+2x−6=0x^2-3 x+2 x-6=0 বা, x(x−3)+2(x−3)=0x(x-3)+2(x-3)=0 বা, (x−3)(x+2)=0(x-3)(x+2)=0 ∴x=−2,3\therefore \quad x=-2,3 ∴\therefore আবস্থক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =∫−23(y2−y1)dx=\int_{-2}^3\left(y_2-y_1\right) d x =∫−23[x−(x2−6)]dx=\int_{-2}^3\left[x-\left(x^2-6\right)\right] d x =∫−23(x−x2+6)dx=\int_{-2}^3\left(x-x^2+6\right) d x =[x22−x33+6x]−23=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+6 x\right]_{-2}^3 =[322−333+6×3]−[(−2)22−(−2)33+6(−2)]=\left[\frac{3^2}{2}-\frac{3^3}{3}+6 \times 3\right]-\left[\frac{(-2)^2}{2}-\frac{(-2)^3}{3}+6(-2)\right] =(92−9+18)−(2+83−12)=\left(\frac{9}{2}-9+18\right)-\left(2+\frac{8}{3}-12\right) =92+9+10−83=\frac{9}{2}+9+10-\frac{8}{3} =92−83+19=\frac{9}{2}-\frac{8}{3}+19 =27−16+1146=1256=\frac{27-16+114}{6}=\frac{125}{6} বর্গ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রফল : 1256\frac{125}{6} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন