Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: উদ্দীপক হতে পাই, [চিত্র] [গণিত] [(i) নং হতে] [গণিত] হয়, x = 0 অথবা, [গণিত] ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপকের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

question image

উত্তর

ধরি, y=sin⁡−1(2x1−x2)y= \sin^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^{2}}\right) =sin⁡−1(2sin⁡θ1−sin⁡2θ)= \sin^{-1}\left(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin^{2} \theta}\right) [x=sin⁡θ][π]{[x=\sin \theta][\pi] } =sin⁡−1(2sin⁡θcos⁡2θ)= \sin^{-1}\left(2 \sin \theta \sqrt{\cos^{2} \theta}\right) =sin⁡−1(2sin⁡θcos⁡θ)= \sin^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta) =sin⁡−1(sin⁡2θ)= \sin^{-1}(\sin 2 \theta) =2θ= 2 \theta y=2sin⁡−1xy= 2 \sin^{-1} x ⇒dydx=ddx(2sin⁡−1x)\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(2 \sin^{-1} x\right) ∴ddx{sin⁡−1(2x1−x2)=2⋅11−x2\therefore \frac{d}{d x}\left\{\sin^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^{2}}\right)=2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right.

উত্তর

(i) \int \frac{d x}{(2 x+1} \sqrt{2 x+5}} = \int \frac{d x}{(2 x+5-4} \sqrt{2 x+5}} =∫dxzdz(z2−4)z2= \int \frac{d x z d z}{\left(z^{2}-4\right) \sqrt{z^{2}}} let, z2=2x+5z^{2}=2 x+5 2z⋅dzdx=22 z \cdot \frac{d z}{d x}=2 ⇒zdz=dx\Rightarrow z d z=d x =∫zdz(z2−4)z=\int \frac{z d z}{\left(z^{2}-4\right) z} =∫dzz2−22=\int \frac{d z}{z^{2}-2^{2}} =12⋅2ln⁡∣z−2z+2∣+c=\frac{1}{2 \cdot 2} \ln \left|\frac{z-2}{z+2}\right|+c =14ln⁡∣2x+5−22x+5+2∣+c=\frac{1}{4} \ln \left|\frac{2 x+5-2}{2 x+5+2}\right|+c =14ln⁡∣2x+32x+7∣+C Ans. =\frac{1}{4} \ln \left|\frac{2 x+3}{2 x+7}\right|+C \text{ Ans. } (ii) ∫x2x2−4dx\int \frac{x^{2}}{x^{2}-4} d x = ∫x2−4+4x2−4dx\int \frac{x^{2}-4+4}{x^{2}-4} d x = ∫(x2−4x2−4+4x2−4)dx\int\left(\frac{x^{2}-4}{x^{2}-4}+\frac{4}{x^{2}-4}\right) d x = ∫dx+∫4dxx2−4\int d x+\int \frac{4 d x}{x^{2}-4} = ∫dx+4∫dxx2−22\int d x+4 \int \frac{d x}{x^{2}-2^{2}} = x+4⋅12⋅2ln⁡∣x−2x+2∣+cx+4 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2} \ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+c = x+ln⁡∣x−2x+2∣+c Ans. x+\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+c \text{ Ans. }

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, question image x2=4yx^{2}=4 y y=x24y=\frac{x^{2}}{4} y2=4xy^{2}=4 x ⇒(x24)2=4x\Rightarrow \left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{2}=4 x [(i) নং হতে] ⇒x416−4x=0\Rightarrow \frac{x^{4}}{16}-4 x=0 ⇒x4−64x=0\Rightarrow x^{4}-64 x=0 ⇒x(x3−64)=0\Rightarrow x\left(x^{3}-64\right)=0 হয়, x = 0 অথবা, x3−64=0x^{3}-64=0 ⇒x3=64\Rightarrow x^{3}=64 ∴x=4\therefore x=4 ∴\therefore ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = ∫04(2x−x24)dx\int_0^4\left(2 \sqrt{x}-\frac{x^2}{4}\right) d x =∫04(2⋅x1/2−x24)dx=\int_{0}^{4}\left(2 \cdot x^{1 / 2}-\frac{x^{2}}{4}\right) d x =[2x3/23/2−14⋅x33]04=\left[\frac{2 x^{3 / 2}}{3 / 2}-\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4} =[43x3/2−112x3]04=\left[\frac{4}{3} x^{3 / 2}-\frac{1}{12} x^{3}\right]_{0}^{4} =[(4343/2−11243)−(4303/2−11203)]=\left[\left(\frac{4}{3} 4^{3 / 2}-\frac{1}{12} 4^{3}\right)-\left(\frac{4}{3} 0^{3 / 2}-\frac{1}{12} 0^{3}\right)\right] =43.8−6412=\frac{4}{3} .8-\frac{64}{12} =323−163=\frac{32}{3}-\frac{16}{3} =32−163.=\frac{32-16}{3}. =163 Ars. =\frac{16}{3} \text{ Ars. }
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন