Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যপট-২ এ প্রদত্ত পরাবৃত্ত দুইটি দ্বারা সীমবাদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] ... (i) এবং [গণিত] ... (ii) (ii) নং হতে [গণিত] (i) নং এ বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যপট-২ এ প্রদত্ত পরাবৃত্ত দুইটি দ্বারা সীমবাদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের ক…

উদ্দীপক

দৃশ্যপট-১: h(x)=sin⁡x\mathrm{h}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} দৃশ্যপট-২ : y2=8x,x2=y\mathrm{y}^2=8 \mathrm{x}, \mathrm{x}^2=\mathrm{y}.

Sylhet · 2025

উত্তর

ধরি, x2=zx^2=z বা, 2xdx=dz2 x d x=d z ∴xdx=dz2\therefore x d x=\frac{d z}{2} ∫6xex2dx\int 6 x e^{x^2} d x =∫6ezdz2=\int 6 e^z \frac{d z}{2} =3∫ezdz=3 \int e^z d z =3ez+c=3 e^z+c =3ex2=3 e^{x^2} ∴∫6xex2dx=3ex2+c\therefore \int 6 x e^{x^2} d x=3 e^{x^2}+c নির্ণেয় মান : 3ex2+c3 e^{x^2}+c

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=sin⁡xh(x)=\sin x ∴∫0π4{h(π2−2x)}2{h(π2−2x)}2−{h(2x)}2dx\therefore \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\left\{h\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)\right\}^2}{\left\{h\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)\right\}^2-\{h(2 x)\}^2} d x =∫0π4{sin⁡(π2−2x)}2{sin⁡(π2−2x)}2−(sin⁡2x)2=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\left\{\sin \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)\right\}^2}{\left\{\sin \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)\right\}^2-(\sin 2 x)^2} =∫0π4cos⁡22xdxcos⁡22x−sin⁡22x=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2 2 x d x}{\cos^2 2 x-\sin^2 2 x} =∫0π412⋅2cos⁡22xcos⁡22x−sin⁡22xdx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{1}{2} \cdot 2 \cos^2 2 x}{\cos^2 2 x-\sin^2 2 x} d x =∫0π412(1+cos⁡4x)cos⁡4xdx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{1}{2}(1+\cos 4 x)}{\cos 4 x} d x [∵2cos⁡2x=1+cos⁡2x[\because 2 \cos^2 x=1+\cos 2 x এবং cos⁡2A=cos⁡2A−sin⁡2A]\cos 2 A=\cos^2 A-\sin^2 A] =12∫0π4(1cos⁡4x+cos⁡4xcos⁡4x)dx=\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{1}{\cos 4 x}+\frac{\cos 4 x}{\cos 4 x}\right) d x =12∫0π4[sec⁡4x+1]dx=\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}}[\sec 4 x+1] d x =12∫0π4sec⁡4x(sec⁡4x+tan⁡4x)(sec⁡4x+tan⁡4x)dx+12∫0π4dx=\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec 4 x(\sec 4 x+\tan 4 x)}{(\sec 4 x+\tan 4 x)} d x+\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} d x =12∫0π4sec⁡24x+tan⁡4x⋅sec⁡4xtan⁡4x+sec⁡4xdx+12[x]0π4=\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 4 x+\tan 4 x \cdot \sec 4 x}{\tan 4 x+\sec 4 x} d x+\frac{1}{2}[x]_0^{\frac{\pi}{4}} =18∫0π4ddx(tan⁡4x+sec⁡4x)=dx+12[π4−0]=\frac{1}{8} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{d}{d x}(\tan 4 x+\sec 4 x)=d x+\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{4}-0\right] =18[ln⁡∣tan⁡4x+sec⁡4x∣]0π4+π8=\frac{1}{8}[\ln |\tan 4 x+\sec 4 x|]_0^{\frac{\pi}{4}}+\frac{\pi}{8} [∵∫f(x)f(x)dx=ln⁡∣f(x)∣+c]\left[\because \int \frac{f(x)}{f(x)} d x=\ln |f(x)|+c\right] =18[ln⁡∣tan⁡π+sec⁡π∣−ln⁡∣tan⁡0+sec⁡0∣]+π8=\frac{1}{8}[\ln |\tan \pi+\sec \pi|-\ln |\tan 0+\sec 0|]+\frac{\pi}{8} =18[ln⁡∣0+(−1)∣−ln⁡∣0+1∣]+π8=\frac{1}{8}[\ln |0+(-1)|-\ln |0+1|]+\frac{\pi}{8} =18[ln⁡1−ln⁡1]+π8=18×0+π8=π8=\frac{1}{8}[\ln 1-\ln 1]+\frac{\pi}{8}=\frac{1}{8} \times 0+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{8} নির্ণেয় মান : π8\frac{\pi}{8}

উত্তর

question image দেওয়া আছে, y2=8x\mathrm{y}^2=8 \mathrm{x} …...(i)\ldots... (i) এবংx2=yx^2=y
…...(ii)(ii)\ldots... (ii) (ii)
নং হতে y=x2\mathrm{y}=\mathrm{x}^2 (i) নং এ বসিয়ে পাই, (x2)2=8x\left(x^2\right)^2=8 x বা, x4−8x=0x^4-8 x=0 বা, x(x3−8)=0x\left(x^3-8\right)=0 বা, x(x3−23)=0x\left(x^3-2^3\right)=0 ∴x=0,2\therefore x=0,2 ∴\therefore আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =∫02(y2−y1)dx=\int_0^2\left(y_2-y_1\right) d x =∫02(8x−x2)dx=\int_0^2\left(\sqrt{8 x}-x^2\right) d x =∫02(22x−x2)dx=\int_0^2\left(2 \sqrt{2} \sqrt{x}-x^2\right) d x =22∫022xdx−∫02x2dx=2 \sqrt{2} \int_0^2 \sqrt{2} x d x-\int_0^2 x^2 d x =22∫02x2dx−∫02x2dx=2 \sqrt{2} \int_0^2 x^2 d x-\int_0^2 x^2 d x =22[x3232]02−[x33]02=2 \sqrt{2}\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^2-\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 =22×23[232−032]−13[23−03]=2 \sqrt{2} \times \frac{2}{3}\left[2^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right]-\frac{1}{3}\left[2^3-0^3\right] =423×22−83=\frac{4 \sqrt{2}}{3} \times 2 \sqrt{2}-\frac{8}{3} =163−83=\frac{16}{3}-\frac{8}{3} =83=\frac{8}{3} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

Barisal · 2017

ক
∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) ∫0π/21+g(θ)dθ\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta; ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ\int_0^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

∫dx1+ex\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x3−9x2+24x−12,φ(x)=112−16x2f(x)=x^3-9 x^2+24 x-12, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16 x^2}} এবং ψ(x)=tan⁡−1(x5)\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)

Barisal · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) ∫φ(x)dx\int \varphi(x) d x; (ii) ∫ψ(x)dx\int \psi(x) d x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে f(x)f(x) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে x\mathrm{x} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

φ(x,y)=9x2+16y2−144;f(x)=x−2\varphi(x, y)=9 x^2+16 y^2-144 ; f(x)=x-2 এবং g(x)=sin⁡6xg(x)=\sin^6 x

Sylhet · 2017

ক
∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।
খ
(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।
গ
φ(x,y)=0\varphi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ও f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

(i) ∫02f(x)tan⁡−1(x−2)dx\int_0^2 f(x) \tan^{-1}(x-2) d x এর মান নির্ণয় কর। (ii) ∫0π2g(x)cos⁡xdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

∫xdx(x−1)\int \frac{x d x}{(x-1)} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, H(x)=\frac{x e^x}{(x+1}^2}

Jessore · 2017

ক
y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ
∫01H(x)dx\int_0^1 H(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেখাও যে, F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

y=(x−2)(x+1)y=(x-2)(x+1) বক্ররেখার x=2x=2 বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নিরদৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; [গণিত][গণিত] নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় কর : (i) [গণিত] ; (ii) [গণিত]উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রেল নির্ণয় কর।(i) [গণিত] এর মান নির্ণয় কর। (ii) [গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে ম্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন