Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এবং [গণিত] সমীকরণ দুইটির একটি সাধারণ মূল থাকলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] অথবা [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] হলে, [গণিত] এবং [গণিত] হলে, [গণিত] ধরি, (i) ও (ii) এর সাধারণ মূল [গণিত] এবং [গণিত] (iii) ও (iv) হতে বজ্রগুণনের সূত্রানুসার পাই, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] ) বা, [গণিত] বা, [গণিত] হয়, [গণিত] অথবা, [গণিত] বা, [গণিত] অথবা [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 2: যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম ℹ️ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 2: যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম ℹ️ · সৃজনশীল

এবং সমীকরণ দুইটির একটি সাধারণ মূল থাকলে, প্রমাণ কর যে, অথবা .

উদ্দীপক

F(x)=27x2+6x−(m+2),P(x)=rx2−2nx+4 mF(\mathrm{x})=27 \mathrm{x}^2+6 \mathrm{x}-(\mathrm{m}+2), \mathrm{P}(\mathrm{x})=r \mathrm{x}^2-2 \mathrm{nx}+ 4 \mathrm{~m} এবং Q(x)=mx2+nx+r\mathrm{Q}(\mathrm{x})=\mathrm{mx}^2+\mathrm{nx}+r

Dhaka · 2019

উত্তর

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল 2+23i2+2 \sqrt{3} \mathrm{i} হলে অপর মূল 2−23i2-2 \sqrt{3} \mathrm{i} ∴\therefore নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ : x2\mathrm{x}^2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল )x+) \mathrm{x}+ মূলদ্বয়ের গুণফল =0=0 বা, x2−(2+23i+2−23i)x+(2+23i)(2−x^2-(2+2 \sqrt{3} i+2-2 \sqrt{3} i) x+(2+2 \sqrt{3} i)(2- 23i)=02 \sqrt{3} \mathrm{i})=0 বা, x2−4x+4−43i2=0\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}+4-43 \mathrm{i}^2=0 বা, x2−4x+4+12=0x^2-4 x+4+12=0 বা, x2−4x+16=0x^2-4 x+16=0 নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ, x2−4x+16=0\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}+16=0

উত্তর

দেওয়া আছে, F(x)=27x2+6x−(m+2)\mathrm{F}(\mathrm{x})=27 \mathrm{x}^2+6 \mathrm{x}-(\mathrm{m}+2) F(x)=0\mathrm{F}(\mathrm{x})=0 হলে, 27x2+6x−(m+2)=027 \mathrm{x}^2+6 \mathrm{x}-(\mathrm{m}+2)=0 ধরি, একটি মূল α\alpha এবং অপর মূল α2\alpha^2 । ∴α+α2=−627\therefore \alpha+\alpha^2=\frac{-6}{27} বা, α+α2=−29\alpha+\alpha^2=\frac{-2}{9}. বা, 9α2+9α+2=09 \alpha^2+9 \alpha+2=0 বা, 9α2+6α+3α+2=09 \alpha^2+6 \alpha+3 \alpha+2=0 বা, 3α(3α+2)+1(3α+2)=03 \alpha(3 \alpha+2)+1(3 \alpha+2)=0 বা, (3α+2)(3α+1)=0(3 \alpha+2)(3 \alpha+1)=0 হয়, 3α+2=03 \alpha+2=0 বা, α=−23\alpha=\frac{-2}{3} অথবা, 3α+1=03 \alpha+1=0 বা, α=−13\alpha=\frac{-1}{3} এবং α⋅α2=−(m+2)27\alpha \cdot \alpha^2=\frac{-(\mathrm{m}+2)}{27} বা, α3=−(m+2)27…..(i)\alpha^3=\frac{-(\mathrm{m}+2)}{27} \ldots.. (i) α=−23\alpha=\frac{-2}{3} হলে (i) নং সমীকরণ হতে, (−23)3=−(m+2)27\left(\frac{-2}{3}\right)^3=\frac{-(\mathrm{m}+2)}{27} বা, −827=−(m+2)27\frac{-8}{27}=\frac{-(\mathrm{m}+2)}{27} বা, m+2=8m+2=8 বা, m=6m=6 আবার, α=−13\alpha=\frac{-1}{3} হলে, (i) নং সমীকরণ হতে, (−13)3=−(m+2)27\left(\frac{-1}{3}\right)^3=\frac{-(m+2)}{27} বা, −127=−(m+2)27\frac{-1}{27}=\frac{-(\mathrm{m}+2)}{27} বা, m+2=1m+2=1 বা, m=−1m=-1 নির্ণেয় মান : m=6,−1m=6,-1.

উত্তর

দেওয়া আছে, P(x)=rx2−2nx+4mP(x)=r x^2-2 n x+4 m P(x)=0P(x)=0 হলে, rx2−2nx+4m=0…...(i)r x^2-2 n x+4 m=0 \ldots... (i) এবং Q(x)=mx2+nx+rQ(x)=m x^2+n x+r Q(x)=0\mathrm{Q}(\mathrm{x})=0 হলে, mx2+nx+r=0…….(ii)\mathrm{mx}^2+\mathrm{nx}+\mathrm{r}=0 \ldots\ldots. (ii) ধরি, (i) ও (ii) এর সাধারণ মূল α\alpha ∴rα2−2nα+4m=0…….(iii)\therefore r \alpha^2-2 n \alpha+4 m=0 \ldots\ldots. (iii) এবং mα2+nα+r=0…….(iv)m \alpha^2+n \alpha+r=0 \ldots\ldots. (iv) (iii) ও (iv) হতে বজ্রগুণনের সূত্রানুসার পাই, α2−2nr−4mn=α4m2−r2=1rn+2mn\frac{\alpha^2}{-2 n r-4 m n}=\frac{\alpha}{4 m^2-r^2}=\frac{1}{r n+2 m n} ∴(4m2−r2)2=(−2nr−4mn)(rn+2mn)\therefore\left(4 m^2-r^2\right)^2=(-2 n r-4 m n)(r n+2 m n) [∵α2a=αb=1c[\because \frac{\alpha^2}{a}=\frac{\alpha}{b}=\frac{1}{c} হলে, b2=a]b^2=a ] বা, (2m+r)2(2m−r)2=−2n(r+2m)⋅n(r+(2 m+r)^2(2 m-r)^2=-2 n(r+2 m) \cdot n(r+ 2 m2 \mathrm{~m} ) বা, (2m+r)2(2m−r)2+2n2(r+2m)2=0(2 m+r)^2(2 m-r)^2+2 n^2(r+2 m)^2=0 বা, (2m+r)2{(2m−r)2+2n2}=0(2 m+r)^2\left\{(2 m-r)^2+2 n^2\right\}=0 হয়, (2m+r)2=0(2 m+r)^2=0 অথবা, (2m−r)2+2n2=0(2 m-r)^2+2 n^2=0 বা, 2m+r=02 m+r=0 ∴(2m−r)2+2n2=0\therefore(2 m-r)^2+2 n^2=0 অথবা 2m+r=02 m+r=0. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 2: যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম ℹ️
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x−1,g(x,y)=2x+y−6,h(x,y)=x−2y−2f(x)=x-1, g(x, y)=2 x+y-6, h(x, y)=x-2 y-2
ক
1∣3x−2∣≥5\frac{1}{|3 x-2|} \geq 5 যখন x≠23x \neq \frac{2}{3} এর সমাধান সেট নির্ণয় কর।
খ
∣f(x)∣<13|f(x)|<\frac{1}{3} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−1∣<79\left|x^2-1\right|<\frac{7}{9}.
গ
g(x,y)≤0,h(x,y)≤0,y≤3g(x, y) \leq 0, h(x, y) \leq 0, y \leq 3 এবং x,y≥0x, y \geq 0 শর্তে Z=3x−5y\mathrm{Z}=3 \mathrm{x}-5 \mathrm{y} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.∣f(x)∣<13|f(x)|<\frac{1}{3} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−1∣<79\left|x^2-1\right|<\frac{7}{9}.

∣f(x)∣<13|f(x)|<\frac{1}{3} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−1∣<79\left|x^2-1\right|<\frac{7}{9}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1∣3x−2∣≥5\frac{1}{|3 x-2|} \geq 5 যখন x≠23x \neq \frac{2}{3} এর সমাধান সেট নির্ণয় কর।

1∣3x−2∣≥5\frac{1}{|3 x-2|} \geq 5 যখন x≠23x \neq \frac{2}{3} এর সমাধান সেট নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

Z=2x+3y L1:x+y−11=0 L2:4x−7y=0 L3:2y−9x=0 L4:3x+4y−60=0\begin{aligned} & \mathrm{Z}=2 x+3 y \\ & \mathrm{~L}_1: x+y-11=0 \\ & \mathrm{~L}_2: 4 x-7 y=0 \\ & \mathrm{~L}_3: 2 \mathrm{y}-9 \mathrm{x}=0 \\ & \mathrm{~L}_4: 3 x+4 y-60=0\end{aligned}
ক
∀a,b∈R\forall a, b \in \mathbb{R} হলে, (ab)−1=b−1a−1(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1} এর সত্যতা যাচাই কর ।
খ
x=a,y=1\mathrm{x}=\mathrm{a}, \mathrm{y}=1 হলে Z2+4(Z+7)(Z+1)(Z−3)≤0\frac{\mathrm{Z}^2+4}{(\mathrm{Z}+7)(\mathrm{Z}+1)(\mathrm{Z}-3)} \leq 0 অসমতাটি সমাধান করে তা সংখ্যারেখায় দেখাও ।
গ
L1≥0, L2≤0, L3≤0, L4≤0,x≥0,y≥0\mathrm{L}_1 \geq 0, \mathrm{~L}_2 \leq 0, \mathrm{~L}_3 \leq 0, \mathrm{~L}_4 \leq 0, \mathrm{x} \geq 0, \mathrm{y} \geq 0 শর্তাধীনে Zmax – Zmin নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.x=a,y=1\mathrm{x}=\mathrm{a}, \mathrm{y}=1 হলে Z2+4(Z+7)(Z+1)(Z−3)≤0\frac{\mathrm{Z}^2+4}{(\mathrm{Z}+7)(\mathrm{Z}+1)(\mathrm{Z}-3)} \leq 0 অসমতাটি সমাধান করে তা সংখ্যারেখায় দেখাও ।

x=a,y=1\mathrm{x}=\mathrm{a}, \mathrm{y}=1 হলে Z2+4(Z+7)(Z+1)(Z−3)≤0\frac{\mathrm{Z}^2+4}{(\mathrm{Z}+7)(\mathrm{Z}+1)(\mathrm{Z}-3)} \leq 0 অসমতাটি সমাধান করে তা সংখ্যারেখায় দেখাও ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∀a,b∈R\forall a, b \in \mathbb{R} হলে, (ab)−1=b−1a−1(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1} এর সত্যতা যাচাই কর ।

∀a,b∈R\forall a, b \in \mathbb{R} হলে, (ab)−1=b−1a−1(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1} এর সত্যতা যাচাই কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : এক ব্যক্তি X ও Y দুই ধরনের খাদ্য গ্রহণ করেন । তিন ধরনের পুষ্টি N1, N2, N3 এর পরিমাণ, খাদ্যের মূল্য ও পুষ্টির দৈনিক সর্বনিম্ন প্রয়োজন নিম্নরূপ : question image দৃশ্যকল্প-২ : v,u,ω∈R,ω≠0v, u, \omega \in \mathbb{R}, \omega \neq 0
ক
1 - i এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর ।
খ
দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, uω=vωu \omega=v \omega হলে, u = v.
গ
দৃশ্যকল্প-১ হতে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের সাহায্যে খাদ্যের এমন একটি সমন্বয় নির্ণয় কর, যা সর্বনিম্ন খরচে ঐ ব্যক্তির দৈনিক প্রয়োজন মেটাবে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, uω=vωu \omega=v \omega হলে, u = v.

দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, uω=vωu \omega=v \omega হলে, u = v.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.1 - i এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর ।

1 - i এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=2x−1f(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}-1; দৃশ্যকল্প-২ : Z=3x+5y\mathrm{Z}=3 \mathrm{x}+5 \mathrm{y} শর্ত : 5x+10y≤50,x+y≥2,y≤4,x≤5,x≥0,y≥05 x+10 y \leq 50, x+y \geq 2, y \leq 4, x \leq 5, x \geq 0, y \geq 0
ক
দৃশ্যকল্প-১ এর জন্য 7
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর জন্য \frac{1}{|f(x}-4|} \geq 2 অসমতাটি সমাধান করে সংখ্যারেখায় দেখাও ৷
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর ক্ষেত্রে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের সাহায্যে সমস্যাটি সমাধান কর এবং Z এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর ৷

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এর জন্য \frac{1}{|f(x}-4|} \geq 2 অসমতাটি সমাধান করে সংখ্যারেখায় দেখাও ৷

দৃশ্যকল্প-১ এর জন্য \frac{1}{|f(x}-4|} \geq 2 অসমতাটি সমাধান করে সংখ্যারেখায় দেখাও ৷

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.দৃশ্যকল্প-১ এর জন্য 7

দৃশ্যকল্প-১ এর জন্য 7

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এবং [গণিত] শর্তে [গণিত] এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] যখন [গণিত] এর সমাধান সেট নির্ণয় কর।[গণিত] শর্তাধীনে Zmax – Zmin নির্ণয় কর ।[গণিত] হলে [গণিত] অসমতাটি সমাধান করে তা সংখ্যারেখায় দেখাও ।[গণিত] হলে, [গণিত] এর সত্যতা যাচাই কর ।দৃশ্যকল্প-১ হতে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের সাহায্যে খাদ্যের এমন একটি সমন্বয় নির্ণয়দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] হলে, u = v.1 - i এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্প-২ এর ক্ষেত্রে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের সাহায্যে সমস্যাটি সমাধান কর এবং Zদৃশ্যকল্প-১ এর জন্য [গণিত] অসমতাটি সমাধান করে সংখ্যারেখায় দেখাও ৷দৃশ্যকল্প-১ এর জন্য 7 <f(x + 1) <-3 কে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর ৷

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন