Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই, [গণিত] ত্রিকোণমিতিক সূত্রমতে, [গণিত] এবং [গণিত] সুতরাং, [গণিত] আবার, [গণিত] হতে পাই, [গণিত] যেহেতু, [গণিত] এবং [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প হতে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: z=rcos⁡θ+irsin⁡θz=r \cos \theta+i r \sin \theta

Comilla · 2023

উত্তর

প্রদত্ত রাশি, (1−i)−2−(1+i)−2(1-i)^{-2} - (1+i)^{-2} = \frac{1}{(1-i}^2} - \frac{1}{(1+i}^2} = \frac{(1+i)^2 - (1-i)^2}{(1-i}^2(1+i)^2} =(1+i)2−(1−i)2{(1−i)(1+i)}2= \frac{(1+i)^2 - (1-i)^2}{\{(1-i)(1+i)\}^2} আমরা জানি, (a+b)2−(a−b)2=4ab(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab এবং (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2, = \frac{4 \cdot 1 \cdot i}{(1^2 - i^2}^2} =4i{1−(−1)}2= \frac{4i}{\{1 - (-1)\}^2} [∵i2=−1][\because i^2 = -1] = \frac{4i}{(1+1}^2} =4i22= \frac{4i}{2^2} =4i4= \frac{4i}{4} =i= i নির্ণেয় মান: ii

উত্তর

দেওয়া আছে, z=rcos⁡θ+irsin⁡θz = r \cos \theta + ir \sin \theta এখানে, θ=45∘\theta = 45^{\circ} ও r=1r = 1 হলে, z=1⋅cos⁡45∘+i⋅1⋅sin⁡45∘z = 1 \cdot \cos 45^{\circ} + i \cdot 1 \cdot \sin 45^{\circ} ⇒z=12+i12\Rightarrow z = \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} ⇒z=1+i2\Rightarrow z = \frac{1+i}{\sqrt{2}} উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই, z2=(1+i2)2z^2 = \left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^2 ⇒z2=(1+i)22\Rightarrow z^2 = \frac{(1+i)^2}{2} ⇒z2=1+2i+i22\Rightarrow z^2 = \frac{1 + 2i + i^2}{2} ⇒z2=1+2i−12\Rightarrow z^2 = \frac{1 + 2i - 1}{2} [∵i2=−1][\because i^2 = -1] ⇒z2=2i2\Rightarrow z^2 = \frac{2i}{2} ⇒z2=i\Rightarrow z^2 = i এখন পুনরায় বর্গ করে পাই, (z2)2=i2(z^2)^2 = i^2 ⇒z4=−1\Rightarrow z^4 = -1 প্রদত্ত রাশি, =z8+z6+z4+z2+1= z^8 + z^6 + z^4 + z^2 + 1 =(z4)2+z4⋅z2+z4+z2+1= (z^4)^2 + z^4 \cdot z^2 + z^4 + z^2 + 1 মান বসিয়ে পাই, =(−1)2+(−1)⋅i+(−1)+i+1= (-1)^2 + (-1) \cdot i + (-1) + i + 1 =1−i−1+i+1= 1 - i - 1 + i + 1 =1= 1 নির্ণেয় মান: 11

উত্তর

দেওয়া আছে, z=rcos⁡θ+irsin⁡θz = r \cos \theta + ir \sin \theta উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই, z2=(rcos⁡θ+irsin⁡θ)2z^2 = (r \cos \theta + ir \sin \theta)^2 ⇒z2=r2(cos⁡θ+isin⁡θ)2\Rightarrow z^2 = r^2 (\cos \theta + i \sin \theta)^2 ⇒z2=r2(cos⁡2θ+2isin⁡θcos⁡θ+i2sin⁡2θ)\Rightarrow z^2 = r^2 (\cos^2 \theta + 2i \sin \theta \cos \theta + i^2 \sin^2 \theta) ⇒z2=r2(cos⁡2θ+i⋅2sin⁡θcos⁡θ−sin⁡2θ)\Rightarrow z^2 = r^2 (\cos^2 \theta + i \cdot 2 \sin \theta \cos \theta - \sin^2 \theta) [∵i2=−1][\because i^2 = -1] ⇒z2=r2{(cos⁡2θ−sin⁡2θ)+i(2sin⁡θcos⁡θ)}\Rightarrow z^2 = r^2 \{(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) + i (2 \sin \theta \cos \theta)\} ত্রিকোণমিতিক সূত্রমতে, cos⁡2θ−sin⁡2θ=cos⁡2θ\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos 2\theta এবং 2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta ⇒z2=r2(cos⁡2θ+isin⁡2θ)\Rightarrow z^2 = r^2 (\cos 2\theta + i \sin 2\theta) ⇒z2=r2cos⁡2θ+i⋅r2sin⁡2θ\Rightarrow z^2 = r^2 \cos 2\theta + i \cdot r^2 \sin 2\theta সুতরাং, Arg⁡(z2)=tan⁡−1(r2sin⁡2θr2cos⁡2θ)\operatorname{Arg}(z^2) = \tan^{-1} \left( \frac{r^2 \sin 2\theta}{r^2 \cos 2\theta} \right) =tan⁡−1(sin⁡2θcos⁡2θ)= \tan^{-1} \left( \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} \right) =tan⁡−1(tan⁡2θ)= \tan^{-1} (\tan 2\theta) =2θ= 2\theta আবার, z=rcos⁡θ+irsin⁡θz = r \cos \theta + ir \sin \theta হতে পাই, 2Arg⁡(z)=2⋅tan⁡−1(rsin⁡θrcos⁡θ)2 \operatorname{Arg}(z) = 2 \cdot \tan^{-1} \left( \frac{r \sin \theta}{r \cos \theta} \right) =2tan⁡−1(sin⁡θcos⁡θ)= 2 \tan^{-1} \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right) =2tan⁡−1(tan⁡θ)= 2 \tan^{-1} (\tan \theta) =2×θ= 2 \times \theta =2θ= 2\theta যেহেতু, Arg⁡(z2)=2θ\operatorname{Arg}(z^2) = 2\theta এবং 2Arg⁡(z)=2θ2 \operatorname{Arg}(z) = 2\theta ∴Arg⁡(z2)=2Arg⁡(z)\therefore \operatorname{Arg}(z^2) = 2 \operatorname{Arg}(z) (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন