Chapter 3: জটিল সংখ্যা Higher Math 2nd Paper

HSC Higher Math 2nd Paper এর Chapter 3: জটিল সংখ্যা অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

৫৮৪

প্রশ্ন

Higher Math 2nd Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCHigher Math 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর

15+8i=16+8i−1=42+2⋅4.i+i2=(4+i)215+8 i=16+8 i-1=4^2+2 \cdot 4 . i+i^2=(4+i)^2 ∴15+8=±(4+i)2=±(4+i)\therefore \sqrt{15+8}= \pm \sqrt{(4+i)^2}= \pm(4+i) নির্ণেয় বর্গমূল ± (4+1).
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=∣x−3∣f(x)=|x-3| এখানে, f(x)<17f(x)<\frac{1}{7} বা, ∣x−3∣<17|x-3|<\frac{1}{7}……………(1)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots(1) বা, ∣x−3∣+6<17+6|x-3|+6<\frac{1}{7}+6 [উভয়পক্ষে 6 যোগ করে] বা, ∣x−3∣+∣6∣<1+427|x-3|+|6|<\frac{1+42}{7} বা, ∣x−3+6∣≤∣x−3∣+∣6∣<437[∵∣b+c∣≤∣b∣+∣c∣]|x-3+6| \leq|x-3|+|6|<\frac{43}{7}[\because|b+c| \leq|b|+|c|] বা, ∣x−3+6∣<437|x-3+6|<\frac{43}{7} বা, ∣x+3∣<437|x+3|<\frac{43}{7}
……………(2)(1)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots(2) (1)
ও (2) নং গুণ করে পাই, ∣x−3∣.∣x+3∣<17⋅437|x-3| .|x+3|<\frac{1}{7} \cdot \frac{43}{7} বা, ∣(x−3)(x+3)∣<4349[∵∣b∣∣c∣=∣bc∣]|(x-3)(x+3)|<\frac{43}{49}[\because|b||c|=|b c|] বা, ∣x2−32∣<4349\left|x^2-3^2\right|<\frac{43}{49} ∴∣x2−9∣<4349\therefore\left|x^2-9\right|<\frac{43}{49}. (প্রমাণিত)
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=p+qx+rx2g(x)=p+q x+r x^2 এখন, p+q+r=0p+q+r=0 a=x=3 এবং ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমূল। এখন, g(ω)=p+qω+rω2\g(ω2)=p+qω2+rω4=p+qω2+rω⋅ω3=p+qω2+rω⋅1[∵ω3=1]=p+qω2+rω\begin{aligned} g(\omega) & =p+q \omega+r \omega^2 \g\left(\omega^2\right) & =p+q \omega^2+r \omega^4=p+q \omega^2+r \omega \cdot \omega^3 \\ & =p+q \omega^2+r \omega \cdot 1\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =p+q \omega^2+\mathrm{r} \omega\end{aligned} {g(ω)}+{g(ω2)}=p+qω+rω2+p+qω2+rω=2p+qω+qω2+rω+rω2=2p+q(ω+ω2)+r(ω+ω2)=2p+q⋅(−1)+r⋅(−1)[∵1+ω+ω2=0]=2p−q−r=2p−(q+r)=2p−(−p)[∵p+q+r=0]=2p+p=3p\begin{aligned}\{g(\omega)\}+\left\{g\left(\omega^2\right)\right\} & =p+q \omega+r \omega^2+p+q \omega^2+r \omega \\ & =2 p+q \omega+q \omega^2+\mathrm{r} \omega+\mathrm{r} \omega^2 \\ & =2 \mathrm{p}+\mathrm{q}\left(\omega+\omega^2\right)+\mathrm{r}\left(\omega+\omega^2\right) \\ & =2 \mathrm{p}+\mathrm{q} \cdot(-1)+\mathrm{r} \cdot(-1)\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] \\ & =2 \mathrm{p}-\mathrm{q}-\mathrm{r}=2 \mathrm{p}-(\mathrm{q}+\mathrm{r}) \\ & =2 \mathrm{p}-(-\mathrm{p})[\because \mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r}=0] \\ & =2 \mathrm{p}+\mathrm{p}=3 \mathrm{p}\end{aligned} {g(ω)}⋅{g(ω2)}=(p+qω+rω2)(p+qω2+rω)=p2+pqω2+rpω+pqω+q2ω3+qrω2+rpω2+qrω4+r2ω3=p2+pqω2+rpω+pqω+q2ω3+qrω2+rpω2+qrω⋅ω3+r2ω3=p2+pqω2+rpω+pqω+q2⋅1+qrω2+rpω2+qrω⋅1+r2⋅1[∵ω3=1]=p2+q2+r2+pqω+pqω2+qrω+qrω2+ppω+rpω2=p2+q2+r2+pq(ω+ω2)+qr(ω+ω2)+pp(ω+ω2)=p2+q2+r2+pq⋅(−1)+qr.(−1)+rp.(−1)[∵1+ω+ω2=0]=p2+q2+r2−pq−qr+rp=p2+(q+r)2−3qr−p(q+r)=p2+(−p)2−3qr−p.(−p)[∵p+q+r=0]=p2+p2−3qr+p2=3p2−3qr\begin{aligned} & \{\mathrm{g}(\omega)\} \cdot\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}=\left(\mathrm{p}+\mathrm{q} \omega+\mathrm{r} \omega^2\right)\left(\mathrm{p}+\mathrm{q} \omega^2+\mathrm{r} \omega\right) \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{pq} \omega^2+\mathrm{rp} \omega+\mathrm{pq} \omega+\mathrm{q}^2 \omega^3+\mathrm{qr} \omega^2+\mathrm{rp} \omega^2+\mathrm{qr} \omega^4+\mathrm{r}^2 \omega^3 \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{pq} \omega^2+\mathrm{rp} \omega+\mathrm{pq} \omega+\mathrm{q}^2 \omega^3+\mathrm{qr} \omega^2+\mathrm{rp} \omega^2+\mathrm{qr} \omega \cdot \omega^3+\mathrm{r}^2 \omega^3 \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{pq} \omega^2+\mathrm{rp} \omega+\mathrm{pq} \omega+\mathrm{q}^2 \cdot 1+\mathrm{qr} \omega^2+\mathrm{rp} \omega^2+\mathrm{qr} \omega \cdot 1+\mathrm{r}^2 \cdot 1\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2+\mathrm{r}^2+\mathrm{pq} \omega+\mathrm{pq} \omega^2+\mathrm{qr} \omega+\mathrm{qr} \omega^2+\mathrm{pp} \omega+\mathrm{rp} \omega^2 \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2+\mathrm{r}^2+\mathrm{pq}\left(\omega+\omega^2\right)+\mathrm{qr}\left(\omega+\omega^2\right)+\mathrm{pp}\left(\omega+\omega^2\right) \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2+\mathrm{r}^2+\mathrm{pq} \cdot(-1)+\mathrm{qr} .(-1)+\mathrm{rp} .(-1)\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2+\mathrm{r}^2-\mathrm{pq}-\mathrm{qr}+\mathrm{rp} \\ & =\mathrm{p}^2+(\mathrm{q}+\mathrm{r})^2-3 \mathrm{qr}-\mathrm{p}(\mathrm{q}+\mathrm{r}) \\ & =\mathrm{p}^2+(-\mathrm{p})^2-3 \mathrm{qr}-\mathrm{p} .(-\mathrm{p})[\because \mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r}=0] \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{p}^2-3 \mathrm{qr}+\mathrm{p}^2=3 \mathrm{p}^2-3 \mathrm{qr} \\ & \end{aligned} বামপক্ষ, ={g(ω)}3+{g(ω2)}3=[{g(ω)}+{g(ω2)}][{g(ω)}2−{g(ω)}⋅{g(ω2)}+{g(ω2)}2]=[{g(ω)}+g(ω2)}][[{g(ω)}+{g(ω2)}]2−3⋅{g(ω)}⋅{g(ω2)}]=3p⋅{(3p)2−3⋅(3p2−3qr)}=3p(9p2−9p2+9qr)=3p.9qr=27pqr=33pqr=axpqr[∵a=x=3]\begin{aligned} & =\{g(\omega)\}^3+\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}^3 \\ & =\left[\{g(\omega)\}+\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}\right]\left[\{g(\omega)\}^2-\{g(\omega)\} \cdot\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}+\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}^2\right] \\ & \left.=\left[\{g(\omega)\}+g\left(\omega^2\right)\right\}\right]\left[\left[\{g(\omega)\}+\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}\right]^2-3 \cdot\{g(\omega)\} \cdot\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}\right] \\ & =3 \mathrm{p} \cdot\left\{(3 \mathrm{p})^2-3 \cdot\left(3 \mathrm{p}^2-3 \mathrm{qr}\right)\right\} \\ & =3 \mathrm{p}\left(9 \mathrm{p}^2-9 \mathrm{p}^2+9 \mathrm{qr}\right) \\ & =3 \mathrm{p} .9 \mathrm{qr}=27 \mathrm{pqr}=3^3 \mathrm{pqr} \\ & =\mathrm{a}^{\mathrm{x}} \mathrm{pqr} \quad[\because \mathrm{a}=\mathrm{x}=3]\end{aligned} = ডানপক্ষ ∴{g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\therefore\{g(\omega)\}^3+\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr. (প্রমাণিত)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, z=x+iyz=x+i y ∴zˉ=x−iy\therefore \quad \bar{z}=x-i y এখন, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|z+i|=|\bar{z}+2| বা, ∣x+iy+i∣=∣x−iy+2∣|x+i y+i|=|x-i y+2| বা, ∣x+i(y+1)∣=∣x+2−iy∣|x+i(y+1)|=|x+2-i y| বা, x2+(y+1)2=(x+2)2+(−y)2\sqrt{x^2+(y+1)^2}=\sqrt{(x+2)^2+(-y)^2} বা, x2+y2+2y+1=x2+4x+4+y2\sqrt{x^2+y^2+2 y+1}=\sqrt{x^2+4 x+4+y^2} বা, x2+y2+2y+1=x2+4x+4+y2x^2+y^2+2 y+1=x^2+4 x+4+y^2 [বর্গ করে] বা, x2+4x+4+y2−x2−y2−2y−1=0x^2+4 x+4+y^2-x^2-y^2-2 y-1=0 বা, 4x−2y+3=04 x-2 y+3=0 যা একটি সরলরেখা নির্দেশ করে।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর

এখানে, x+iy=2e−iθx+i y=2 e^{-i \theta} বা, x+iy=2(cos⁡θ−isin⁡θ)[∵e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ]x+i y=2(\cos \theta-i \sin \theta)\left[\because e^{-i \theta}=\cos \theta-i \sin \theta\right] বা, x+iy=2cos⁡θ−2isin⁡θx+i y=2 \cos \theta-2 i \sin \theta বা, ∣x+iy∣=∣2cos⁡θ−2isin⁡θ∣|x+i y|=|2 \cos \theta-2 i \sin \theta| বা, x2+y2=(2cos⁡θ)2+(−2sin⁡θ)2\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(2 \cos \theta)^2+(-2 \sin \theta)^2} বা, x2+y2=4cos⁡2θ+4sin⁡2θ\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{4 \cos^2 \theta+4 \sin^2 \theta} বা, x2+y2=4cos⁡2θ+4sin⁡2θx^2+y^2=4 \cos^2 \theta+4 \sin^2 \theta [বর্গ করে] বা, x2+y2=4(sin⁡2θ+cos⁡2θ)x^2+y^2=4\left(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta\right) বা, x2+y2=4.1[∵sin⁡2θ+cos⁡2θ=1]x^2+y^2=4.1 \quad\left[\because \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\right] ∴x2+y2=4\therefore x^2+y^2=4. (প্রমাণিত)
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে অভীষ্ট ফাংশন : F=y−2xF=y-2 x শর্তসমূহ : x+2y≤6;x+y≥4;x≥0;y≥0x+2 y \leq 6 ; x+y \geq 4 ; x \geq 0 ; y \geq 0 প্রদত্ত অসমতাসমূহের অনুরূপ রৈখিক সমীকরণ, x+2y=6x+2 y=6 বা, x6+y3=1\frac{x}{6}+\frac{y}{3}=1………(1)\ldots\ldots\ldots(1) x+y=4x+y=4 বা, x4+y4=1\frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1………(2)\ldots\ldots\ldots(2) x=0x=0……….(3)\ldots\ldots\ldots.(3) y=0y=0……….(4)\ldots\ldots\ldots.(4) ছক কাগজে X-অক্ষ এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ = 1 একক ধরে (1), (2), (3) ও (4) নং সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন করে এর সাহায্যে অসমতাসমূহের সমাধান সেট অর্থাৎ অনুকূল এলাকা চিহ্নিত করে ছায়ায়িত করি। question image লেখচিত্রে দেখা যায় (1) নং এর সকল বিন্দু এবং এর যে পাশে মুলবিন্দু সেই পাশের সকল বিন্দুর জন্য সত্য। (2) নং এর সকল বিন্দু এবং এর যে পাশে মূলবিন্দু তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দুর জন্য সত্য। আবার (1) ও (2) এর ছেদবিন্দু P(2, 2) (4) ও (2) এর ছেদবিন্দু Q(4, 0) (4) ও (1) এর ছেদবিন্দু R(6, 0) ∴ নির্ণেয় কৌণিক বিন্দু P(2, 2), Q(4, 0) ও R(6, 0) এখন P(2, 2) বিন্দুতে F=2−2−2=2−4−2\mathrm{F = 2 - 2-2 = 2-4-2} Q(4, 0) বিন্দুতে F=0−2.4=0−8=−8\mathrm{F = 0 - 2. 4 = 0 - 8 = -8} R(6, 0) বিন্দুতে F=0−2.6=0−12=−12\mathrm{F = 0-2.6 = 0-12 = - 12} নির্ণেয় সর্বোচ্চ মান – 2.

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর

দেওয়া আছে, x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} বা, (x+iy)2=p+iqr+is(x+i y)^2=\frac{p+i q}{r+i s} বা, x^2+2 x y i+(i y)^2=\frac{(p+i q)(r-i s)}{(r+i s}(r-i s)} বা, x^2+2 x y i-y^2=\frac{p r-p s i+q r i-q s i}{r^2-(i s}^2} বা, x2−y2+2xyi=pr+qs+i(qr−ps)r2+s2x^2-y^2+2 x y i=\frac{p r+q s+i(q r-p s)}{r^2+s^2} বা, x˙2−y2+2xyi=pr+qsr2+s2+qr−psr2+s2\dot{x}^2-y^2+2 x y i=\frac{p r+q s}{r^2+s^2}+\frac{q r-p s}{r^2+s^2} i
……(1)(1)\ldots\ldots(1) (1)
নং হতে বাস্তব ও জটিল অংশ তুলনা করে পাই, x2−y2=pr+qsr2+s2x^2-y^2=\frac{p r+q s}{r^2+s^2} এবং 2xy=qr−psr2+s22 x y=\frac{q r-p s}{r^2+s^2} বামপক্ষ =(x2+y2)2=(x2−y2)2+4x2y2=\left(x^2+y^2\right)^2=\left(x^2-y^2\right)^2+4 x^2 y^2 \begin{aligned} & =\left(\frac{p r+q s}{r^2+s^2}\right)^2+\left(\frac{q r}{r^2+s^2}\right)^2 \\ & =\frac{p^2 r^2+q^2 s^2+q^2 r^2+p^2 s^2}{\left(r^2+s^2\right}^2}=\frac{\left(p^2+q^2\right)\left(r^2+s^2\right)}{\left(r^2+s^2\right}^2}\end{aligned} ∴ (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2}{\mathrm{r}^2+\mathrm{s}^2}. (দেখানো হলো)
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i =12−2⋅1⋅3i+(3i)2=(1−3i)2=1^2-2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} i+(\sqrt{3} i)^2=(1-\sqrt{3} i)^2 ∴z=±((1−3i)2=±(1−3i)\therefore \quad \sqrt{z}= \pm\left(\sqrt{(1-\sqrt{3} i)^2}= \pm(1-\sqrt{3} i)\right. z=1−3i\sqrt{z}=1-\sqrt{3} i এর ক্ষেত্রে, Arg⁡((z)=tan⁡−1(−31)=−π3\operatorname{Arg}\left((\sqrt{z})=\tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right)=-\frac{\pi}{3}\right. z=−(1−3i)\sqrt{\mathrm{z}}=-(1-\sqrt{3} \mathrm{i}) এর ক্ষেত্রে, Arg⁡(z)=tan⁡−1(3−1)=2π3\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}})=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)=\frac{2 \pi}{3} নির্ণেয় আর্গুমেন্ট −π3,2π3-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}.
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, z=−2−23i\mathrm{z}=-2-2 \sqrt{3} \mathrm{i} ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z=−2−3i\mathrm{z}=-2-\sqrt{3} \mathrm{i} ∴\therefore ত্রিঘাত সমীকরণের আররকটি মূল হবে −2+23-2+2 \sqrt{3} i ধরি, ত্রিঘাত স়মীকরণের অপর মূল γ\gamma শর্তমতে, (−2−23i)⋅(−2+23i)⋅γ=80(-2-2 \sqrt{3} i) \cdot(-2+2 \sqrt{3} i) \cdot \gamma=80 বা, {(−2)2−(23i)2}γ=80\left\{(-2)^2-(2 \sqrt{3} i)^2\right\} \gamma=80 বা, (4+12)γ=80(4+12) \gamma=80 বা, 16y=8016 y=80 বা, γ=8016=5\gamma=\frac{80}{16}=5 ত্রিঘাত সমীকরণটি হবে x3−(−2−23i−2+23i+5)x2x^3-(-2-2 \sqrt{3} i-2+2 \sqrt{3} i+5) x^2 +{(−2−23i)(−2+23i)+(−2+23i)⋅5+5⋅(−2−23)}x−(−2−23)(−2+23i).5=0\begin{aligned} & +\{(-2-2 \sqrt{3} \mathrm{i})(-2+2 \sqrt{3} \mathrm{i})+(-2+2 \sqrt{3} \mathrm{i}) \cdot 5+5 \cdot(-2-2 \sqrt{3})\} \mathrm{x} \\ & -(-2-2 \sqrt{3})(-2+2 \sqrt{3} \mathrm{i}) .5=0\end{aligned} বা, x3−1⋅x2+[{(−2)2−(23i)2}−10+103−10−103]xx^3-1 \cdot x^2+\left[\left\{(-2)^2-(2 \sqrt{3} i)^2\right\}-10+10 \sqrt{3}-10-10 \sqrt{3}\right] x −{(−2)2−(23i)2}⋅5=0-\left\{(-2)^2-(2 \sqrt{3} i)^2\right\} \cdot 5=0 বা, x3>x2+(4+12−20)x−(4+12).5=0x^3>x^2+(4+12-20) x-(4+12) .5=0 বা, x3−x2−4x−16.5=0x^3-x^2-4 x-16.5=0 বা, x3−x2−4x−80=0x^3-x^2-4 x-80=0 নির্ণেয় সমীকরণ, x3−x2−4x−80=0x^3-x^2-4 x-80=0.

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, 13=x\sqrt[3]{1}=x তাহলে, x3=1x^3=1 বা, x3−1=0x^3-1=0 বা, (x−1)(x2+x+1)=0(x-1)\left(x^2+x+1\right)=0 ∴x−1=0\therefore \mathrm{x}-1=0 অথবা x2+x+1=0\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1=0 এখন, x−1=0\mathrm{x}-1=0 হলে, x=1\mathrm{x}=1 আবার, x2+x+1=0x^2+x+1=0 হলে, x=−1±1−42x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} =12(−1±i3)=\frac{1}{2}(-1 \pm \mathrm{i} \sqrt{3}) সুতরাং, এককের ঘনমূলগুলি 1,12(−1+i3)1, \frac{1}{2}(-1+\mathrm{i} \sqrt{3}) এবং 12(−1−i3)\frac{1}{2}(-1-\mathrm{i} \sqrt{3}) (Ans.)
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, z = x + iy এখন, ∣z+5∣+∣z−5∣=15|z+5|+|z-5|=15 বা, ∣x+iy+5∣+∣x+iy−5∣=15|x+i y+5|+|x+i y-5|=15 বা, ∣x+5+iy∣+∣x−5+iy∣=15|x+5+i y|+|x-5+i y|=15 বা, (x+5)2+y2+(x−5)2+y2=15\sqrt{(x+5)^2+y^2}+\sqrt{(x-5)^2+y^2}=15 বা, (x+5)2+y2=15−(x−5)2+y2\sqrt{(x+5)^2+y^2}=15-\sqrt{(x-5)^2+y^2} বা, x2+10x+25+y2=225x^2+10 x+25+y^2=225 +(x2−10x+25+y2)−30(x−5)2+y2+\left(\mathrm{x}^2-10 \mathrm{x}+25+\mathrm{y}^2\right)-30 \sqrt{(\mathrm{x}-5)^2+\mathrm{y}^2} [বর্গ করে] বা, x2+10x+25+y2−225−x2+10x−25−y2x^2+10 x+25+y^2-225-x^2+10 x-25-y^2 =−30x2−10x+25+y2=-30 \sqrt{x^2-10 x+25+y^2} বা, 20x−225=−30x2−10x+25+y220 x-225=-30 \sqrt{x^2-10 x+25+y^2} বা, 4x−45=−6x2−10x+25+y24 x-45=-6 \sqrt{x^2-10 x+25+y^2} বা, 16x2−360x+2025=36(x2−10x+25+y2)16 x^2-360 x+2025=36\left(x^2-10 x+25+y^2\right) বা, 16x2−360x+2025=36x2−360x+900+36y216 x^2-360 x+2025=36 x^2-360 x+900+36 y^2 বা, 20x2+36y2=112520 x^2+36 y^2=1125 বা, x2(152)2+y2(552)2=1\frac{x^2}{\left(\frac{15}{2}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{5 \sqrt{5}}{2}\right)^2}=1 যা নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর

প্রদত্ত অসমতা 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} বা, 2x+3x−3−x+3x−1<0\frac{2 x+3}{x-3}-\frac{x+3}{x-1}<0 বা, \frac{\left(2 x^2+3 x-2 x-3\right)-\left(x^2-9\right)}{(x-3}(x-1)}<0 বা, \frac{\left(2 x^2+3 x-2 x-3\right)-\left(x^2-9\right)}{(x-3}(x-1)}<0 বা, \frac{\left(2 x^2+3 x-2 x-3\right)-\left(x^2-9\right)}{(x-3}(x-1)}<0 বা, x2+2⋅12⋅x+(12)2+6−14(x−3)(x−1)<0\frac{x^2+2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x+\left(\frac{1}{2}\right)^2+6-\frac{1}{4}}{(x-3)(x-1)}<0 বা,(x+12)2+234(x−3)(x−1)<0\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{23}{4}}{(x-3)(x-1)}<0 এখন (x+12)2+234>0\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{23}{4}>0 ∴(x−3)\therefore(\mathrm{x}-3) ও (x−1)(\mathrm{x}-1) এর মধ্যে একটির চিহ্ন ধনাত্মক এবং অপরটির চিহ্ন ঋণাত্মক হলে (i) অসমতাটির শর্ত সিদ্ধ করে। question image ∴\therefore (i) অসমতাটি সত্য হবে যদি 1<x<31<x<3 হয়। ∴\therefore নির্ণেয় সমাধান : 1<x<31<\mathrm{x}<3 question image

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো