Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক-২ এ, [গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং শর্তমতে, [গণিত] সুতরাং, [গণিত] এবং [গণিত] [যেহেতু [গণিত] , তাই [গণিত] ] বামপক্ষ: [গণিত] ধরি, [গণিত] এবং [গণিত] প্রদত্ত রাশি [গণিত] [যেহেতু [গণিত] এবং [গণিত] ] [গণিত] ... [গণিত] এখন, [গণিত] ও [গণিত] এর মান বসিয়ে আলাদাভাবে রাশিগুলোর মান বের করি: ১ম অংশ: [গণিত] [যেহেতু [গণিত] ] [গণিত] ২য় অংশ: [গণিত] [যেহেতু [গণিত] এবং [গণিত] ] [গণিত] ৩য় অংশ: [গণিত] [যেহেতু [গণিত] এবং [গণিত] ] [গণিত] এখন, [গণিত] নং সমীকরণে মানগুলো বসিয়ে পাই: বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

উদ্দীপক-২ এ, হলে, প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : z1=−1+3iz_1 = -1+\sqrt{3}i এবং z2=1−3iz_2=1-\sqrt{3}i দৃশ্যকল্প-২ : g(x)=l+mx+nx2g(x)=l+mx+nx^2

Rajshahi · 2023

উত্তর

ধরি, z=iz = \sqrt{i} z=122iz = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2i} =121+2i−1= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1 + 2i - 1} =1212+2⋅1⋅i+i2= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2} [যেহেতু i2=−1i^2 = -1] =12(1+i)2= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(1+i)^2} ∴z=±12(1+i)\therefore z = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=−1+3iz_1 = -1+\sqrt{3}i এবং z2=1−3iz_2 = 1-\sqrt{3}i এখন, z1z2=(−1+3i)(1−3i)z_1 z_2 = (-1+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i) =−1+3i+3i−3i2= -1 + \sqrt{3}i + \sqrt{3}i - 3i^2 =−1+23i−3(−1)= -1 + 2\sqrt{3}i - 3(-1) =−1+23i+3= -1 + 2\sqrt{3}i + 3 =2+23i= 2 + 2\sqrt{3}i বামপক্ষ (L.H.SL.H.S): L.H.S=arg⁡(z1z2)=arg⁡(2+23i)L.H.S = \arg(z_1 z_2) = \arg(2 + 2\sqrt{3}i) যেহেতু জটিল সংখ্যাটি ১ম চতুর্ভাগে অবস্থিত (বাস্তব ও কাল্পনিক উভয় অংশই ধনাত্মক), ∴arg⁡(z1z2)=tan⁡−1(232)=tan⁡−1(3)=π3\therefore \arg(z_1 z_2) = \tan^{-1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} ডানপক্ষ (R.H.S)(R.H.S) এর মান নির্ণয়: z1=−1+3iz_1 = -1+\sqrt{3}i জটিল সংখ্যাটি ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত, ∴arg⁡(z1)=π−tan⁡−1∣3−1∣=π−tan⁡−1(3)=π−π3=2π3\therefore \arg(z_1) = \pi - \tan^{-1}\left\vert{}\frac{\sqrt{3}}{-1}\right\vert{} = \pi - \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} আবার, z2=1−3iz_2 = 1-\sqrt{3}i জটিল সংখ্যাটি ৪র্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত, ∴arg⁡(z2)=−tan⁡−1∣−31∣=−tan⁡−1(3)=−π3\therefore \arg(z_2) = -\tan^{-1}\left\vert{}\frac{-\sqrt{3}}{1}\right\vert{} = -\tan^{-1}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} এখন, R.H.S=arg⁡(z1)+arg⁡(z2)R.H.S = \arg(z_1) + \arg(z_2) =2π3+(−π3)= \frac{2\pi}{3} + \left(-\frac{\pi}{3}\right) =2π3−π3= \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} =π3= \frac{\pi}{3} ∴L.H.S=R.H.S\therefore L.H.S = R.H.S (Proved)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=l+mx+nx2g(x) = l + mx + nx^2 এবং শর্তমতে, l+m+n=0l+m+n=0 সুতরাং, g(ω)=l+mω+nω2g(\omega) = l + m\omega + n\omega^2 এবং g(ω2)=l+mω2+n(ω2)2=l+mω2+nω4=l+mω2+nωg(\omega^2) = l + m\omega^2 + n(\omega^2)^2 = l + m\omega^2 + n\omega^4 = l + m\omega^2 + n\omega [যেহেতু ω3=1\omega^3 = 1, তাই ω4=ω\omega^4 = \omega] বামপক্ষ: ={g(ω)}3+{g(ω2)}3= \{g(\omega)\}^3 + \{g(\omega^2)\}^3 =(l+mω+nω2)3+(l+mω2+nω)3= (l + m\omega + n\omega^2)^3 + (l + m\omega^2 + n\omega)^3 ধরি, x=l+mω+nω2x = l + m\omega + n\omega^2 এবং y=l+mω2+nωy = l + m\omega^2 + n\omega প্রদত্ত রাশি =x3+y3= x^3 + y^3 =(x+y)(x2−xy+y2)= (x+y)(x^2 - xy + y^2) =(x+y){x2+(−1)xy+y2}= (x+y)\{x^2 + (-1)xy + y^2\} =(x+y){x2+(ω+ω2)xy+ω3y2}= (x+y)\{x^2 + (\omega+\omega^2)xy + \omega^3y^2\} [যেহেতু ω+ω2=−1\omega+\omega^2 = -1 এবং ω3=1\omega^3=1] =(x+y)(x2+xyω+xyω2+y2ω3)= (x+y)(x^2 + xy\omega + xy\omega^2 + y^2\omega^3) =(x+y){x(x+yω)+yω2(x+yω)}= (x+y)\{x(x+y\omega) + y\omega^2(x+y\omega)\} =(x+y)(x+yω)(x+yω2)= (x+y)(x+y\omega)(x+y\omega^2) …...\ldots... (i)(i) এখন, xx ও yy এর মান বসিয়ে আলাদাভাবে রাশিগুলোর মান বের করি: ১ম অংশ: x+y=(l+mω+nω2)+(l+mω2+nω)x+y = (l + m\omega + n\omega^2) + (l + m\omega^2 + n\omega) =2l+m(ω+ω2)+n(ω+ω2)= 2l + m(\omega+\omega^2) + n(\omega+\omega^2) =2l+m(−1)+n(−1)= 2l + m(-1) + n(-1) =2l−m−n=2l−(m+n)= 2l - m - n = 2l - (m+n) =2l−(−l)= 2l - (-l) [যেহেতু l+m+n=0  ⟹  m+n=−ll+m+n=0 \implies m+n=-l] =3l= 3l ২য় অংশ: x+yω=(l+mω+nω2)+ω(l+mω2+nω)x+y\omega = (l + m\omega + n\omega^2) + \omega(l + m\omega^2 + n\omega) =l+mω+nω2+lω+mω3+nω2= l + m\omega + n\omega^2 + l\omega + m\omega^3 + n\omega^2 =l+mω+2nω2+lω+m(1)= l + m\omega + 2n\omega^2 + l\omega + m(1) =(l+m)+(l+m)ω+2nω2= (l+m) + (l+m)\omega + 2n\omega^2 =(l+m)(1+ω)+2nω2= (l+m)(1+\omega) + 2n\omega^2 =(−n)(−ω2)+2nω2= (-n)(-\omega^2) + 2n\omega^2 [যেহেতু l+m=−nl+m = -n এবং 1+ω=−ω21+\omega = -\omega^2] =nω2+2nω2= n\omega^2 + 2n\omega^2 =3nω2= 3n\omega^2 ৩য় অংশ: x+yω2=(l+mω+nω2)+ω2(l+mω2+nω)x+y\omega^2 = (l + m\omega + n\omega^2) + \omega^2(l + m\omega^2 + n\omega) =l+mω+nω2+lω2+mω4+nω3= l + m\omega + n\omega^2 + l\omega^2 + m\omega^4 + n\omega^3 =l+mω+nω2+lω2+mω+n(1)= l + m\omega + n\omega^2 + l\omega^2 + m\omega + n(1) =(l+n)+2mω+(l+n)ω2= (l+n) + 2m\omega + (l+n)\omega^2 =(l+n)(1+ω2)+2mω= (l+n)(1+\omega^2) + 2m\omega =(−m)(−ω)+2mω= (-m)(-\omega) + 2m\omega [যেহেতু l+n=−ml+n = -m এবং 1+ω2=−ω1+\omega^2 = -\omega] =mω+2mω= m\omega + 2m\omega =3mω= 3m\omega এখন, (i)(i) নং সমীকরণে মানগুলো বসিয়ে পাই: বামপক্ষ =(3l)×(3nω2)×(3mω)= (3l) \times (3n\omega^2) \times (3m\omega) =27lmn⋅ω3= 27lmn \cdot \omega^3 =27lmn⋅1= 27lmn \cdot 1 =27lmn= 27lmn == ডানপক্ষ ∴{g(ω)}3+{g(ω2)}3=27lmn\therefore \{g(\omega)\}^3 + \{g(\omega^2)\}^3 = 27lmn (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন