Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] এবং [গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হয় তবে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] আবার, [গণিত] এখানে, [গণিত] হলো এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল। [গণিত] অপর কাল্পনিক ঘনমূলটি [গণিত] ধরি, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

যদি এবং এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হয় তবে, প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

i. x+y+z=Rx+y+z=R ii. p=x+iyp=x+i y

Jessore · 2023

উত্তর

প্রদত্ত জটিল সংখ্যা =−1−3i=-1-\sqrt{3} \mathrm{i} সংখ্যাটি আর্গুমেন্ট =−π+tan⁡−1∣yx∣[∵=-\pi+\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|[\because বিন্দুটি ৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত] =−π+tan⁡−1∣−3−1∣=−π+tan⁡−13=-\pi+\tan^{-1}\left|\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right|=-\pi+\tan^{-1} \sqrt{3} =−π+tan⁡−1tan⁡π3=−π+π3=−3π+π3=−2π3=-\pi+\tan^{-1} \tan \frac{\pi}{3}=-\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{-3 \pi+\pi}{3}=-\frac{2 \pi}{3} নির্ণেয় আর্গুমেন্ট : −2π3-\frac{2 \pi}{3}.

উত্তর

দেওয়া আছে, p=x+iy\mathrm{p}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} p জটিল সংখ্যাটির অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা, q=x−iyq=x-i y এখন, ∣p+3i∣=∣q+4∣|p+3 i|=|q+4| বা, ∣x+iy+3i∣=∣x−iy+4∣|x+i y+3 i|=|x-i y+4| বা, ∣x+i(3+y)∣=∣(x+4)−iy∣|x+i(3+y)|=|(x+4)-i y| বা, x2+(y+3)2=(x+4)2+(−y)2\sqrt{x^{2}+(y+3)^{2}}=\sqrt{(x+4)^{2}+(-y)^{2}} বা, x2+(y+3)2=(x+4)2+y2x^{2}+(y+3)^{2}=(x+4)^{2}+y^{2} [বর্গ করে] বা, x2+y2+6y+9=x2+8x+16+y2x^{2}+y^{2}+6 y+9=x^{2}+8 x+16+y^{2} বা, 8x+16=6y+98 x+16=6 y+9 বা, 8x−6y+7=08 x-6 y+7=0; যা সরলরেখার সমীকরণ নির্দেশ করে। নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ, 8x−6y+7=08 x-6 y+7=0.

উত্তর

দেওয়া আছে, x+y+z=Rx+y+z=R আবার, R=0∴x+y+z=0\mathrm{R}=0 \quad \therefore \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0 এখানে, ω\omega হলো এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল। ∴\therefore অপর কাল্পনিক ঘনমূলটি =ω2=\omega^{2} ধরি, x+yω+zω2=ax+y \omega+z \omega^{2}=a এবং x+yω2+zω=bx+y \omega^{2}+z \omega=b ∴(x+yω+zω2)3+(x+yω2+zω)3=a3+b3\therefore \left(x+y \omega+z \omega^{2}\right)^{3}+\left(x+y \omega^{2}+z \omega\right)^{3}=a^{3}+b^{3} =(a+b)(a2−ab+b2)=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right) =(a+b)(a2+b2−ab)=(a+b)\left(a^{2}+b^{2}-a b\right) =(a+b){(a+b)2−2ab−ab}=(a+b)\left\{(a+b)^{2}-2 a b-a b\right\} =(a+b){(a+b)2−3ab}=(a+b)\left\{(a+b)^{2}-3 a b\right\} এখন, a+b=(x+yω+zω2)+(x+yω2+zω)\mathrm{a}+\mathrm{b} =\left(\mathrm{x}+\mathrm{y} \omega+\mathrm{z} \omega^{2}\right)+\left(\mathrm{x}+\mathrm{y} \omega^{2}+\mathrm{z} \omega\right) =2x+y(ω+ω2)+z(ω+ω2)=2 \mathrm{x}+\mathrm{y}\left(\omega+\omega^{2}\right)+\mathrm{z}\left(\omega+\omega^{2}\right) =2x+y(−1)+z(−1)[∵1+ω+ω2=0∴ω+ω2=−1]=2 \mathrm{x}+\mathrm{y}(-1)+\mathrm{z}(-1)\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0 \therefore \omega+\omega^{2}=-1\right] =2x−y−z=2 \mathrm{x}-\mathrm{y}-\mathrm{z} =3x−(x+y+z)=3 \mathrm{x}-(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}) =3x−0[∵x+y+z=0]=3 \mathrm{x}-0[\because \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0] =3x=3 \mathrm{x} এবং ab=(x+yω+zω2)(x+yω2+zω)a b=\left(x+y \omega+z \omega^{2}\right)\left(x+y \omega^{2}+z \omega\right) =x2+xyω2+zxω+xyω+y2ω3+yzω2+zxω2+yzω4+z2ω3=x^{2}+x y \omega^{2}+z x \omega+x y \omega+y^{2} \omega^{3}+y z \omega^{2}+z x \omega^{2}+y z \omega^{4}+z^{2} \omega^{3} =x2+xy(ω2+ω)+zx(ω+ω2)+yz(ω+ω2)+y2+z2[∵ω3=1]=x^{2}+x y\left(\omega^{2}+\omega\right)+z x\left(\omega+\omega^{2}\right)+y z\left(\omega+\omega^{2}\right)+y^{2}+z^{2}\left[\because \omega^{3}=1\right] =x2+y2+z2−xy−yz−zx[∵1+ω+ω2=0]=x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] =x2+(y+z)2−2yz−yz−x(y+z)=x^{2}+(y+z)^{2}-2 y z-y z-x(y+z) =x2+(−x)2−3yz−x(−x)[∵x+y+z=0]=x^{2}+(-x)^{2}-3 y z-x(-x)[\because x+y+z=0] =x2+x2−3yz+x2=x^{2}+x^{2}-3 y z+x^{2} =3x2−3yz=3 x^{2}-3 y z বামপক্ষ =(x+yω+zω2)3+(x+yω2+zω)3=\left(x+y \omega+z \omega^{2}\right)^{3}+\left(x+y \omega^{2}+z \omega\right)^{3} =(a+b){(a+b)2−3ab}=(a+b)\left\{(a+b)^{2}-3 a b\right\} =3x{(3x)2−3(3x2−3yz)}=3 x\left\{(3 x)^{2}-3\left(3 x^{2}-3 y z\right)\right\} =3x(9x2−9x2+9yz)=3 x\left(9 x^{2}-9 x^{2}+9 y z\right) =3x×9yz=3 x \times 9 y z =27xyz==27 x y z= ডানপক্ষ ∴(x+yω+zω2)3+(x+yω2+zω)3=27xyz\therefore \left(x+y \omega+z \omega^{2}\right)^{3}+\left(x+y \omega^{2}+z \omega\right)^{3}=27 x y z (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন