Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: উদ্দীপক-২ হতে পাই, [গণিত] বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, (i) + (ii) [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১ : x=(a+bω+cω2),y=(a+bω2+cω)x=\left(a+b \omega+c \omega^{2}\right), \quad y=\left(a+b \omega^{2}+c \omega\right) উদ্দীপক-২ : 7+i8=(p+iq)37+i 8=(p+i q)^{3}

Dhaka · 2023

উত্তর

L.H.S=(1+ω+3ω)6L.H.S=\left(1+\omega+\frac{3}{\omega}\right)^{6} =(ω+ω2+3ω)6=\left(\frac{\omega+\omega^{2}+3}{\omega}\right)^{6} =(1+ω+ω2+2ω)6=\left(\frac{1+\omega+\omega^{2}+2}{\omega}\right)^{6} =(2ω)6=\left(\frac{2}{\omega}\right)^{6} =64(ω3)2=\frac{64}{\left(\omega^{3}\right)^{2}} =6412=\frac{64}{1^{2}} =64= R.H.S=64=\text{ R.H.S} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, x=a+bω+cω2,y=a+bω2+cωx=a+b \omega+c \omega^{2}, \quad y=a+b \omega^{2}+c \omega ∴x3+y3=0\therefore x^{3}+y^{3}=0 ⇒(x+y)(x2−xy+y2)=0\Rightarrow(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)=0 ⇒(x+y){x2+(−1)xy+y2.1)=0\Rightarrow(x+y)\left\{x^{2}+(-1) x y+y^{2}.1\right)=0 ⇒(x+y){x2+(ω+ω2)xy+y2ω3}=0\Rightarrow(x+y)\left\{x^{2}+\left(\omega+\omega^{2}\right) x y+y^{2} \omega^{3}\right\}=0 ⇒(x+y)(x2+ωxy+ω2xy+y2ω3)=0\Rightarrow(x+y)\left(x^{2}+\omega x y+\omega^{2} x y+y^{2} \omega^{3}\right)=0 ⇒(x+y){x(x+yω)+ω2y(x+yω)}=0\Rightarrow(x+y)\left\{x(x+y \omega)+\omega^{2} y(x+y \omega)\right\}=0 ⇒(x+y)(x+yω)(x+ω2y)=0\Rightarrow(x+y)(x+y \omega)\left(x+\omega^{2} y\right)=0 ∴x+ω2y=0\therefore x+\omega^{2} y=0 ⇒a+bω+cω2+ω2(a+bω2+cω)=0\Rightarrow a+b \omega+c \omega^{2}+\omega^{2}\left(a+b \omega^{2}+c \omega\right)=0 ⇒a+bω+cω2+aω2+bω4+cω3=0\Rightarrow a+b \omega+c \omega^{2}+a \omega^{2}+b \omega^{4}+c \omega^{3}=0 ⇒a+bω+cω2+aω2+bω+c=0\Rightarrow a+b \omega+c \omega^{2}+a \omega^{2}+b \omega+c=0 ⇒a(1+ω2)+2bω+c(ω2+1)=0\Rightarrow a\left(1+\omega^{2}\right)+2 b \omega+c\left(\omega^{2}+1\right)=0 ⇒−aω+2bω−Cω=0\Rightarrow-a \omega+2 b \omega-C \omega=0 ⇒−ω(a−2b+c)=0\Rightarrow-\omega(a-2 b+c)=0 ⇒a+c−2b=0\Rightarrow a+c-2 b=0 ⇒2b=c+a\Rightarrow 2 b=c+a ∴b=12(c+a)\therefore b=\frac{1}{2}(c+a) (দেখানো হলো)

উত্তর

উদ্দীপক-২ হতে পাই, 7+i8=(p+iq)37+i 8 =(p+i q)^{3} =p3+3p2⋅iq+3p⋅i2q2+i3q3=p^{3}+3 p^{2} \cdot i q+3 p \cdot i^{2} q^{2}+i^{3} q^{3} =p3+3p2qi−3pq2−iq3=p^{3}+3 p^{2} q i-3 p q^{2}-i q^{3} ∴7+i8=(p3−3pq2)+i(3p2q−q3)\therefore 7+i 8 =\left(p^{3}-3 p q^{2}\right)+i\left(3 p^{2} q-q^{3}\right) বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, p3−3pq2=7\mathrm{p}^{3}-3 \mathrm{pq}^{2}=7 ⇒p(p2−3q2)=7\Rightarrow \mathrm{p}\left(\mathrm{p}^{2}-3 \mathrm{q}^{2}\right)=7 ⇒p2−3q2=7p\Rightarrow \mathrm{p}^{2}-3 \mathrm{q}^{2}=\frac{7}{\mathrm{p}} ⇒P2−3q24=74p⋯(1)\Rightarrow \frac{\mathrm{P}^{2}-3 \mathrm{q}^{2}}{4}=\frac{7}{4 \mathrm{p}} \cdots(1) এবং 3p2q−q3=83 \mathrm{p}^{2} \mathrm{q}-\mathrm{q}^{3}=8 ⇒q(3p2−q2)=8\Rightarrow \mathrm{q}\left(3 \mathrm{p}^{2}-\mathrm{q}^{2}\right)=8 ⇒3p2−q2=8q\Rightarrow 3 \mathrm{p}^{2}-\mathrm{q}^{2}=\frac{8}{\mathrm{q}} ⇒3p2−q24=2q…(ii)\Rightarrow \frac{3 \mathrm{p}^{2}-\mathrm{q}^{2}}{4}=\frac{2}{\mathrm{q}} \ldots (ii) এখন, (i) + (ii) p2−3q24+3p2−q24=74p+2q\frac{p^{2}-3 q^{2}}{4}+\frac{3 p^{2}-q^{2}}{4}=\frac{7}{4 p}+\frac{2}{q} ⇒p2−3q2+3p2−q24=74p+2q\Rightarrow \frac{p^{2}-3 q^{2}+3 p^{2}-q^{2}}{4}=\frac{7}{4 p}+\frac{2}{q} ⇒4p2−4q24=74p+2q\Rightarrow \frac{4 p^{2}-4 q^{2}}{4}=\frac{7}{4 p}+\frac{2}{q} ∴p2−q2=74p+2q\therefore p^{2}-q^{2}=\frac{7}{4 p}+\frac{2}{q} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন