Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] , যখন [গণিত] এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা, -1 , যখন [গণিত] এর মান অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখানে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] অতত্রব, [গণিত] , যখন [গণিত] এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা, [গণিত] যখন [গণিত] এর মান অন্য যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হয়। (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, , যখন এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা, -1 , যখন এর মা…

উদ্দীপক

z1=−1−i3,z2=3−iz_{1}=-1-i \sqrt{3}, z_{2}=\sqrt{3}-i.

Barisal · 2023

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=−1−i3\mathrm{z}_{1}=-1-\mathrm{i} \sqrt{3} মনে করি, z1=−1−3i\mathrm{z}_{1}=-1-\sqrt{3} \mathrm{i} এর বর্গমূল, −1−3i=a−ib;a,b∈R\sqrt{-1-\sqrt{3}} i=a-i b ; a, b \in \mathbb{R} ……..(i)\ldots\ldots.. (i) বা, −1−3i=a2−i2ab+i2b2-1-\sqrt{3} i=a^{2}-i 2 a b+i^{2} b^{2} [বর্গ করে] বা, −1−3i=a2−b2−i2ab[∵i2=−1]-1-\sqrt{3} \mathrm{i}=\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}-\mathrm{i} 2 \mathrm{ab}\left[\because \mathrm{i}^{2}=-1\right] বা, (a2−b2)−i2ab=−1−3i\left(a^{2}-b^{2}\right)-i 2 a b=-1-\sqrt{3} i
…….(ii)(ii)\ldots\ldots. (ii) (ii)
নং সমীকরণের উভয় পক্ষ হতে বাস্তব ও অবাস্তব রাশি সমীকৃত করে পাই, a2−b2=−1a^{2}-b^{2}=-1 …...(iii)\ldots... (iii) এবং 2ab=32 \mathrm{ab}=\sqrt{3} ……(iv)\ldots\ldots (iv) আবার, (a2+b2)2=(a2−b2)2+4a2b2\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}+4 a^{2} b^{2} =(a2−b2)2+(2ab)2=\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}+(2 a b)^{2} =(−1)2+(3)2=1+3=4=(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}=1+3=4 ∴a2+b2=2\therefore \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=2
…...(v)(v)\ldots... (v) (v)
নং ও (iii)নং সমীকরণ যোগ করে পাই, 2a2=12 a^{2}=1 বা, a2=12a^{2}=\frac{1}{2} ∴a=±12\therefore \quad a= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (v) নং সমীকরণ হতে (iii)নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, 2b2=32 b^{2}=3 বা, b2=32b^{2}=\frac{3}{2} ∴b=±32\therefore b= \pm \sqrt{\frac{3}{2}} a ও b এর মান (i)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, −1−3i=±12−i(±32)=±12(1−3i)\sqrt{-1-\sqrt{3} i}= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}-i\left( \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-\sqrt{3} i) নির্ণেয় বর্গমূল : ±12(1−3i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-\sqrt{3} i)

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=−1−i3\mathrm{z}_{1}=-1-\mathrm{i} \sqrt{3} এবং z2=3−i\mathrm{z}_{2}=\sqrt{3}-\mathrm{i} Argz1=−π+tan⁡−1∣yx∣[∵Arg z_{1} =-\pi+\tan^{-1}\left|\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}\right|[\because বিন্দুতে ৩য় চতুর্ভাগে] =−π+tan⁡−1∣−3−1∣=-\pi+\tan^{-1}\left|\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right| =−π+tan⁡−1(3)=−π+π3=−2π3=-\pi+\tan^{-1}(\sqrt{3})=-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2 \pi}{3} এবং Arg⁡z2=−tan⁡−1∣yx∣[∵\operatorname{Arg} z_{2}=-\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right| \quad[\because বিন্দুতে ৪র্থ চতুর্ভাগে] =−tan⁡−1∣−13∣=−tan⁡−1(13)=−π6=-\tan^{-1}\left|\frac{-1}{\sqrt{3}}\right|=-\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6} ∴z1z2=−1−3i3−i\therefore \frac{\mathrm{z}_{1}}{\mathrm{z}_{2}}=\frac{-1-\sqrt{3} \mathrm{i}}{\sqrt{3}-\mathrm{i}} =(−1−3i)(3+i)(3−i)(3+i)=\frac{(-1-\sqrt{3} i)(\sqrt{3}+\mathrm{i})}{(\sqrt{3}-\mathrm{i})(\sqrt{3}+\mathrm{i})} [লব ও হরকে হরের অনুবদ্ধী জটিল সংখ্যা (3−i)(\sqrt{3}-i) দ্বারা গুণ করে] =−3−i−3i−3i2(3)2−i2=−3−4i+33+1[∵i2=−1]=\frac{-\sqrt{3}-\mathrm{i}-3 \mathrm{i}-\sqrt{3} \mathrm{i}^{2}}{(\sqrt{3})^{2}-\mathrm{i}^{2}}=\frac{-\sqrt{3}-4 \mathrm{i}+\sqrt{3}}{3+1}\left[\because \mathrm{i}^{2}=-1\right] =−4i4=−i=0−i=\frac{-4 i}{4}=-i=0-i বামপক্ষ =Arg⁡(z1z2)=−tan⁡−1∣−10∣=−tan⁡−1(∞)=−π2=\operatorname{Arg}\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=-\tan^{-1}\left|\frac{-1}{0}\right|=-\tan^{-1}(\infty)=-\frac{\pi}{2} ডানপক্ষ =Argz⁡1−Argz⁡2=\operatorname{Argz}_{1}-\operatorname{Argz}_{2} =−2π3−(−π6)=−2π3+π6=−4π+π6=−3π6=−π2=-\frac{2 \pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{2 \pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{-4 \pi+\pi}{6}=\frac{-3 \pi}{6}=-\frac{\pi}{2} ∴Arg⁡(z1z2)=Arg⁡z1−Arg⁡z2\therefore \operatorname{Arg}\left(\frac{\mathrm{z}_{1}}{\mathrm{z}_{2}}\right)=\operatorname{Arg} \mathrm{z}_{1}-\operatorname{Arg} \mathrm{z}_{2}. (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=−1−i3\mathrm{z}_{1}=-1-\mathrm{i} \sqrt{3} ∴zˉ1=−1+i3\therefore \bar{z}_{1}=-1+\mathrm{i} \sqrt{3} ∴(12zˉ1)n+(12z1)n={12(−1+3i)}n+{12(−1−3i)}n\therefore \quad\left(\frac{1}{2} \bar{z}_{1}\right)^{\mathrm{n}}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{z}_{1}\right)^{\mathrm{n}}=\left\{\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3} \mathrm{i})\right\}^{\mathrm{n}}+\left\{\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3} \mathrm{i})\right\}^{\mathrm{n}} =ωn+(ω2)n=ωn+ω2n=\omega^{\mathrm{n}}+\left(\omega^{2}\right)^{\mathrm{n}}=\omega^{\mathrm{n}}+\omega^{2 \mathrm{n}} এখানে, n=3mn=3 m হলে, (12zˉ1)n+(12z1)n=ωn+ω2n\left(\frac{1}{2} \bar{z}_{1}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2} z_{1}\right)^{n}=\omega^{n}+\omega^{2 n} =ω3 m+(ω2)3 m=\omega^{3 \mathrm{~m}}+\left(\omega^{2}\right)^{3 \mathrm{~m}} =(ω3)m+(ω3)2 m=\left(\omega^{3}\right)^{\mathrm{m}}+\left(\omega^{3}\right)^{2 \mathrm{~m}} =1+1[∵ω3=1]=1+1\left[\because \omega^{3}=1\right] =2=2 n=3 m+1\mathrm{n}=3 \mathrm{~m}+1 হলে, (12zˉ1)n+(12z1)n=ωn+ω2n\left(\frac{1}{2} \bar{z}_{1}\right)^{\mathrm{n}}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{z}_{1}\right)^{\mathrm{n}}=\omega^{\mathrm{n}}+\omega^{2 \mathrm{n}} =ω3m+1+(ω2)3m+1=\omega^{3 m+1}+\left(\omega^{2}\right)^{3 m+1} =(ω3)m⋅ω+(ω3)2m⋅ω2=\left(\omega^{3}\right)^{m} \cdot \omega+\left(\omega^{3}\right)^{2 m} \cdot \omega^{2} =ω+ω2[∵ω3=1]=\omega+\omega^{2}\left[\because \omega^{3}=1\right] n=3m+2n=3 m+2 হলে, (12zˉ1)n+(12z1)n=ωn+ω2n\left(\frac{1}{2} \bar{z}_{1}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2} z_{1}\right)^{n}=\omega^{n}+\omega^{2 n} =−1[∵1+ω+ω2=0]=-1\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] =ω3m+2+(ω2)3m+2=\omega^{3 m+2}+\left(\omega^{2}\right)^{3 m+2} =(ω3)m⋅ω2+(ω3)2 m⋅(ω2)2=\left(\omega^{3}\right)^{\mathrm{m}} \cdot \omega^{2}+\left(\omega^{3}\right)^{2 \mathrm{~m}} \cdot\left(\omega^{2}\right)^{2} =1⋅ω2+1⋅ω3⋅ω=ω2+ω=1 \cdot \omega^{2}+1 \cdot \omega^{3} \cdot \omega=\omega^{2}+\omega =−1[∵1+ω+ω2=0]=-1\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] অতত্রব, (12zˉ1)n+(12z1)n=2\left(\frac{1}{2} \bar{z}_{1}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2} z_{1}\right)^{n}=2, যখন nn এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা, (12zˉ1)n+(12z1)n=−1\left(\frac{1}{2} \bar{z}_{1}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2} z_{1}\right)^{n}=-1 যখন nn এর মান অন্য যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হয়। (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন