Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: এখানে, এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল [গণিত] এককের অপর কাল্পনিক ঘনমূল [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: p(x)=a+bx+cx2\mathbf{p}(\mathbf{x})=\mathbf{a}+\mathbf{b x}+\mathbf{c x}^{2} দৃশ্যকল্প-২ : এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল ω\omega

Barisal · 2019

উত্তর

−3−4i=1−4i−4-3-4 \mathrm{i}=1-4 \mathrm{i}-4 =1−4i+4i2[∵i2=−1]=1-4 \mathrm{i}+4 \mathrm{i}^{2}\left[\because \mathrm{i}^{2}=-1\right] =(1)2−2⋅1.2i+(2i)2=(1−2i)2=(1)^{2}-2 \cdot 1.2 \mathrm{i}+(2 \mathrm{i})^{2}=(1-2 \mathrm{i})^{2} ∴−3−4i=±(1−2i)\therefore \sqrt{-3-4 \mathrm{i}}= \pm(1-2 \mathrm{i}) নির্ণেয় বর্গমূল ±(1−2i)\pm(1-2 \mathrm{i}).

উত্তর

দেওয়া আছে, p(x)=a+bx+cx2p(x)=a+b x+c x^{2} ∴p(ω)=a+bω+cω2=u(ধ\therefore \mathrm{p}(\omega)=\mathrm{a}+\mathrm{b} \omega+\mathrm{c} \omega^{2}=\mathrm{u}(ধ ধরি )) p(1ω)=a+b(1ω)+c(1ω)2p\left(\frac{1}{\omega}\right)=a+b\left(\frac{1}{\omega}\right)+c\left(\frac{1}{\omega}\right)^{2} =a+bω+cω2=v=a+\frac{b}{\omega}+\frac{c}{\omega^{2}}=v (ধরি) আবার, {p(w)}3+{p(1ω)}3=0\{\mathrm{p}(\mathrm{w})\}^{3}+\left\{\mathrm{p}\left(\frac{1}{\omega}\right)\right\}^{3}=0 বা, u3+v3=0u^{3}+v^{3}=0 বা, (u+v)(u2−uv+v2)=0(u+v)\left(u^{2}-u v+v^{2}\right)=0 বা, (u+v){u2+(ω+ω2)uv+v2⋅ω3}=0(u+v)\left\{u^{2}+\left(\omega+\omega^{2}\right) u v+v^{2} \cdot \omega^{3}\right\}=0 [∵1+ω+ω2=0\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right. এবং ω3=1]\left.\omega^{3}=1\right] বা, (u+v)(u2+uvω+uvω2+v2⋅ω3)=0(u+v)\left(u^{2}+u v \omega+u v \omega^{2}+v^{2} \cdot \omega^{3}\right)=0. বা, (u+v){u(u+vω)+vω2(u+vω)}=0(u+v)\left\{u(u+v \omega)+v \omega^{2}(u+v \omega)\right\}=0 বা, (u+v)(u+vω)(u+vω2)=0(u+v)(u+v \omega)\left(u+v \omega^{2}\right)=0 হয়, u+v=0\mathrm{u}+\mathrm{v}=0 বা, a+bω+cω2+a+bω+cω2=0a+b \omega+c \omega^{2}+a+\frac{b}{\omega}+\frac{c}{\omega^{2}}=0 বা, aω2+bω3+cω4+aω2+bω+c=0a \omega^{2}+b \omega^{3}+c \omega^{4}+a \omega^{2}+b \omega+c=0 বা, aω2+b+cω+aω2+bω+c=0[∵ω3=1]a \omega^{2}+b+c \omega+a \omega^{2}+b \omega+c=0\left[\because \omega^{3}=1\right] বা, 2aω2+b(1+ω)+c(1+ω)=02 a \omega^{2}+b(1+\omega)+c(1+\omega)=0 বা, 2aω2−bω2−cω2=0[∵1+ω+ω2=0]\quad 2 a \omega^{2}-b \omega^{2}-c \omega^{2}=0\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] বা, ω2(2a−b−c)=0\quad \omega^{2}(2 a-b-c)=0 বা, 2a−b−c=0[∵ω2≠0]2 a-b-c=0\left[\because \omega^{2} \neq 0\right] বা, 2a=b+c2 \mathrm{a}=\mathrm{b}+\mathrm{c} ∴a=12(b+c)\therefore a=\frac{1}{2}(b+c) অথবা, u+vω=0\mathrm{u}+\mathrm{v} \omega=0 বা, a+bω+cω2+(a+bω2+cω2)ω=0a+b \omega+c \omega^{2}+\left(a+\frac{b}{\omega^{2}}+\frac{c}{\omega^{2}}\right) \omega=0 বা, a+bω+cω2+aω+b+cω=0a+b \omega+c \omega^{2}+a \omega+b+\frac{c}{\omega}=0 বা, aω+bω2+cω3+aω2+bω+c=0a \omega+b \omega^{2}+c \omega^{3}+a \omega^{2}+b \omega+c=0 বা, a(ω+ω2)+2c+b(ω+ω2)=0[∵ω3=1]a\left(\omega+\omega^{2}\right)+2 c+b\left(\omega+\omega^{2}\right)=0\left[\because \omega^{3}=1\right] বা, −a+2c−b=0[∵1+ω+ω2=0]-a+2 c-b=0\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] বা, 2c=a+b2 c=a+b ∴c=12(a+b)\therefore c=\frac{1}{2}(a+b) অতএব, a=12(b+c)a=\frac{1}{2}(b+c) অথবা c=12(a+b)c=\frac{1}{2}(a+b).

উত্তর

এখানে, এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল ω\omega ∴ω=−1+3i2\therefore \omega=\frac{-1+\sqrt{3} \mathbf{i}}{2} ∴\therefore এককের অপর কাল্পনিক ঘনমূল ω2=−1−3i2\omega^{2}=\frac{-1-\sqrt{3} \mathrm{i}}{2} বামপক্ষ =1+ω+ω2=1+\omega+\omega^{2} =1+−1+3i2+−1−3i2=1+\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}+\frac{-1-\sqrt{3} i}{2} =2−1+3i−1−3i2=2−22=02=0=\frac{2-1+\sqrt{3} i-1-\sqrt{3} i}{2}=\frac{2-2}{2}=\frac{0}{2}=0 == ডানপক্ষ ∴1+ω+ω2=0\therefore 1+\omega+\omega^{2}=0 (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন