Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত] সমীকরণকে [গণিত] এর একটি বাস্তবমান সিদ্ধ করে; যখন [গণিত] হয়।

উত্তর: দেওয়া আছে， [গণিত] এবং [গণিত] এখানে,， [গণিত] বা， [গণিত] বা， [গণিত] বা， [গণিত] বা， [গণিত] বা， [গণিত] ; যা [গণিত] এর একটি বাস্তব মান। অতএব, [গণিত] সমীকরণকে [গণিত] এর একটি বাস্তব মান সিদ্ধ করে। (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

দেখাও যে, সমীকরণকে এর একটি বাস্তবমান সিদ্ধ করে; যখন হয়।

উদ্দীপক

z=2+ixz=2+i x

উত্তর

W ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমূল হলে, ω=−1+3i2=−12+32i\omega=\frac{-1+\sqrt{3} \mathrm{i}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i} এবং ω2=−1−3i2=−12−32i\omega^2=\frac{-1-\sqrt{3} \mathrm{i}}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i} ω\omega এর আর্গুমেন =arg⁡(ω)=π−tan⁡−1∣−32−12∣=\arg (\omega)=\pi-\tan^{-1}\left|\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}\right| =π−tan⁡−1(3)=π−π3=2π3=\pi-\tan^{-1}(\sqrt{3})=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3} ω2\omega^2 এর আর্গুমেট =arg⁡(ω2)=−π+tan⁡−1∣3212∣=\arg \left(\omega^2\right)=-\pi+\tan^{-1}\left|\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\right| =−π+tan⁡−1(3)=−π+π3=−2π3=-\pi+\tan^{-1}(\sqrt{3})=-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2 \pi}{3} ∴ω\therefore \omega ও ω2\omega^2 এর মধ্যবর্তী কোণ =2π3−(−2π3)=2π3+2π3=4π3=\frac{2 \pi}{3}-\left(-\frac{2 \pi}{3}\right)=\frac{2 \pi}{3}+\frac{2 \pi}{3}=\frac{4 \pi}{3} নির্ণেয় কোণ 4π3\frac{4 \pi}{3}.

উত্তর

দেওয়া আছে, z3=a+ib\sqrt[3]{z}=a+i b বা, z=(a+ib)3=a3+3a2×ib+3a(ib)2+i3b3z=(a+i b)^3=a^3+3 a^2 \times i b+3 a(i b)^2+i^3 b^3 =a3+i3a2b+3a2b2+(i2)ib3=a^3+i 3 a^2 b+3 a^2 b^2+\left(i^2\right) i b^3 =a3+i3a2b−3ab2−ib3[∵i2=−1]=a^3+i 3 a^2 b-3 a b^2-i b^3\left[\because i^2=-1\right] =(a3−3ab2)+i(3a2b−b3)=\left(a^3-3 a b^2\right)+i\left(3 a^2 b-b^3\right) ∴zˉ=(a3−3ab2)−i(3a2b−b3)=a3−3ab2−i3a2b+ib3\therefore \bar{z}=\left(a^3-3 a b^2\right)-i\left(3 a^2 b-b^3\right)=a^3-3 a b^2-i 3 a^2 b+i b^3 =a3−3ab2−i3a2b−(−1)ib3=a^3-3 a b^2-i 3 a^2 b-(-1) i b^3 =a3−3ab2−i3a2b−i2×i×b3[∵i2=−1]=a^3-3 a b^2-i 3 a^2 b-i^2 \times i \times b^3\left[\because i^2=-1\right] =a3−i3a2b−3ab2−i3b3=a^3-i 3 a^2 b-3 a b^2-i^3 b^3 =(a)3−3a2(ib)+3⋅a(ib)2−(ib)3=(a−ib)3=(a)^3-3 a^2(i b)+3 \cdot a(i b)^2-(i b)^3=(a-i b)^3 ∴zˉ3=a−ib\therefore \sqrt[3]{\bar{z}}=a-i b \therefore \frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{\bar{z}}}=\frac{a+i b}{a-i b}=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b}(a+i b)}=\frac{(a+i b)^2}{a^2-i^2 b^2} =a2+2aib+i2b2a2+b2[∵i2=−1]=\frac{a^2+2 a i b+i^2 b^2}{a^2+b^2}\left[\because i^2=-1\right] =(a2−b2)+i2aba2+b2[∵i2=−1]=\frac{\left(a^2-b^2\right)+i 2 a b}{a^2+b^2}\left[\because i^2=-1\right] =a2−b2a2+b2+2aba2+b2=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}+\frac{2 a b}{a^2+b^2} ∴Re⁡(z3z3)=a2−b2a2+b2.\therefore \operatorname{Re}\left(\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{z}}\right)=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2 .} (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে，z=z+ixz=z+i x এবং z⃗=2－ix\vec{z}=2－ix এখানে,，zˉz=a−ib\frac{\bar{z}}{z}=a-i b বা，2−ix2+ix=a−ib\frac{2-i x}{2+i x}=a-i b বা， 2−ix=2a−2ib+iax−i2bx2-i x=2 a-2 i b+i a x-i^2 b x বা， 2−ix=2a−2ib+iax+bx[∵i2=−1]2-i x=2 a-2 i b+i a x+b x\left[\because i^2=-1\right] বা，bx+ix+iax=2−2a+2ibb x+i x+i a x=2-2 a+2 i b বা，x(b+i+ia)=2−2a+2ibx(b+i+i a)=2-2 a+2 i b ∴x=2−2a+2ibb+i(1+a)=(2−2a+2ib){b−i(1+a)}{b+i(1+a)}{b−i(1+a)}\therefore \quad x =\frac{2-2 a+2 i b}{b+i(1+a)}=\frac{(2-2 a+2 i b)\{b-i(1+a)\}}{\{b+i(1+a)\}\{b-i(1+a)\}} =\frac{2 b-2 i(1+a)-2 a b+2 a i(1+a)+2 i b^2-2 i^2 b(1+a)}{b^2-i^2(1+a}^2} =\frac{2 b-2 i-2 i a-2 a b+2 i a+2 i a^2+2 i b^2+2 b+2 a b}{b^2+(1+a}^2}\left[\because i^2=-1\right] =4b−2i+2i(a2+b2)b2+1+2a+a2=4b−2i+2i×11+1+2a[∵a2+b2=1]=\frac{4 b-2 i+2 i\left(a^2+b^2\right)}{b^2+1+2 a+a^2}=\frac{4 b-2 i+2 i \times 1}{1+1+2 a}\left[\because a^2+b^2=1\right] =4b−2i+2i2+2a=4b2+2a=2⋅2b2(1+a)=2b1+a=\frac{4 b-2 i+2 i}{2+2 a}=\frac{4 b}{2+2 a}=\frac{2 \cdot 2 b}{2(1+a)}=\frac{2 b}{1+a} ∴x=2 b1+a\therefore \mathrm{x}=\frac{2 \mathrm{~b}}{1+\mathrm{a}}; যা xx এর একটি বাস্তব মান। অতএব, zˉz=a−ib\frac{\bar{z}}{z}=a-i b সমীকরণকে xx এর একটি বাস্তব মান সিদ্ধ করে। (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন