Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

এককের একটি কাক্ষনিক ঘনমূল [গণিত] হলে, যদি [গণিত] হয়, তবে দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [ [গণিত] দ্বারা ভাগ করে] [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [ [গণিত] দ্বারা ভাগ করে] [গণিত] অতএব, [গণিত] এবং [গণিত] . (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

এককের একটি কাক্ষনিক ঘনমূল হলে, যদি হয়, তবে দেখাও যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : z1=a−ib,z2=c−id,\mathrm{z}_1=\mathrm{a}-\mathrm{ib}, \mathrm{z}_2=\mathrm{c}-\mathrm{id}, f(x)=px2+qx+rf(\mathrm{x})=\mathrm{px}^2+\mathrm{qx}+\mathrm{r}.

Comilla · 2025

উত্তর

−16−30i-16-30 \mathrm{i} এর বর্গমূল =−16−30i=\sqrt{-16-30 \mathrm{i}} =9−30i−25=(3)2−2⋅3⋅5i+(5i)2=(3−5i)2=±(3−5i)\begin{aligned} & =\sqrt{9-30 i-25} \\ & =\sqrt{(3)^2-2 \cdot 3 \cdot 5 i+(5 i)^2} \\ & =\sqrt{(3-5 i)^2}= \pm(3-5 i)\end{aligned} নির্ণেয় বর্গমূল : ±(3−5i)\pm(3-5 \mathrm{i}).

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=a−ibz_1=a-i b এবং z2=c−idz_2=c-i d এখানে, x:y=z1:z2x: y=z_1: z_2 বা, xy=z1z2\frac{x}{y}=\frac{z_1}{z_2} বা, xy=a−ibc−id\frac{x}{y}=\frac{a-i b}{c-i d} বা, x(c−id)=y(a−ib)x(c-i d)=y(a-i b) বা, cx−idx=ay−ibyc x-i d x=a y-i b y বা, cx−ay=idx−ibyc x-a y=i d x-i b y বা. (cx−ay)2=(idx−iby)2(c x-a y)^2=(i d x-i b y)^2 [বর্গ করে] বা, (cx)2−2⋅cx⋅ay+(ay)2=(idx)2−2⋅idx⋅iby+(iby)2(c x)^2-2 \cdot c x \cdot a y+(a y)^2=(i d x)^2-2 \cdot i d x \cdot i b y+(i b y)^2 বা, c2x2−2acxy+a2y2=i2d2x2−2i2bdxy+i2b2y2c^2 x^2-2 a c x y+a^2 y^2=i^2 d^2 x^2-2 i^2 b d x y+i^2 b^2 y^2 বা, c2x2−2acxy+a2y2=−d2x2+2bdxy−b2y2[∵i2=−1]c^2 x^2-2 a c x y+a^2 y^2=-d^2 x^2+2 b d x y-b^2 y^2\left[\because i^2=-1\right] বা, c2x2+d2x2+a2y2+b2y˙2=2acxy+2bdxyc^2 x^2+d^2 x^2+a^2 y^2+b^2 \dot{y}^2=2 a c x y+2 b d x y ∴(c2+d2)x2+(a2+b2)y2=2(ac+bd)xy\therefore \quad\left(c^2+d^2\right) x^2+\left(a^2+b^2\right) y^2=2(a c+b d) x y. (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=px2+qx+rf(x)=\mathrm{px}^2+\mathrm{qx}+\mathrm{r} ∴f(ω)=pω2+qω+r\therefore f(\omega)=p \omega^2+q \omega+r এবং f(lω)=pω2+qω+rf\left(\frac{l}{\omega}\right)=\frac{p}{\omega^2}+\frac{q}{\omega}+r =pω3ω2+qω3ω+r[∵ω3=1]=pω+qω2+r\begin{aligned} & =\frac{p \omega^3}{\omega^2}+\frac{q \omega^3}{\omega}+r \quad\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =p \omega+q \omega^2+r\end{aligned} এখন, {f(ω)}3+{f(1ω)}3=0\{f(\omega)\}^3+\left\{f\left(\frac{1}{\omega}\right)\right\}^3=0 হলে, (pω2+qω+r)3+(pω+qω2+r)3=0\left(\mathrm{p} \omega^2+\mathrm{q} \omega+\mathrm{r}\right)^3+\left(\mathrm{p} \omega+\mathrm{q} \omega^2+\mathrm{r}\right)^3=0 বা, (pω2+qω+r)3=−(pω+qω2+r)3\left(\mathrm{p} \omega^2+\mathrm{q} \omega+\mathrm{r}\right)^3=-\left(\mathrm{p} \omega+\mathrm{q} \omega^2+\mathrm{r}\right)^3 বা, (pω2+qω+rpω+q˙ω2+r)3=−1\left(\frac{p \omega^2+q \omega+r}{p \omega+\dot{q} \omega^2+r}\right)^3=-1 বা, pω2+qω+rpω+qω2+r=−13=−1,−ω,−ω2\frac{\mathrm{p} \omega^2+\mathrm{q} \omega+\mathrm{r}}{\mathrm{p} \omega+\mathrm{q} \omega^2+\mathrm{r}}=\sqrt[3]{-1}=-1,-\omega,-\omega^2 অর্থাৎ, pω2+qω+rpω+qω2+r=−1\frac{\mathrm{p} \omega^2+\mathrm{q} \omega+\mathrm{r}}{\mathrm{p} \omega+\mathrm{q} \omega^2+\mathrm{r}}=-1 বা, pω2+qω+r=−pω−qω2−rp \omega^2+q \omega+r=-p \omega-q \omega^2-r বা, pω2+qω+r+pω+qω2+r=0p \omega^2+q \omega+r+p \omega+q \omega^2+r=0 বা, p(ω2+ω)+q(ω+ω2)+2r=0p\left(\omega^2+\omega\right)+q\left(\omega+\omega^2\right)+2 r=0 বা, −p−q+2r=0[∵1+ω+ω2=0]-p-q+2 r=0 \quad\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] ∴2r=p+q\therefore \quad 2 r=p+q আবার, pω2+qω+rpω+qω2+r=−ω\frac{\mathrm{p} \omega^2+\mathrm{q} \omega+\mathrm{r}}{\mathrm{p} \omega+\mathrm{q} \omega^2+\mathrm{r}}=-\omega বা, pω2+qω+r=−pω2−qω3−rωp \omega^2+q \omega+r=-p \omega^2-q \omega^3-r \omega বা, pω2+qω+r+pω2+qω3+rω=0p \omega^2+q \omega+r+p \omega^2+q \omega^3+r \omega=0 বা, 2pω2+q(ω+ω3)+r(1+ω)=02 p \omega^2+q\left(\omega+\omega^3\right)+r(1+\omega)=0 বা, 2pω2+q(ω+1)+r(1+ω)=0[∵ω3=1]2 p \omega^2+q(\omega+1)+r(1+\omega)=0\left[\because \omega^3=1\right] বা, 2pω2−qω2−rω2=0[∵1+ω+ω2=0]2 \mathrm{p} \omega^2-\mathrm{q} \omega^2-\mathrm{r} \omega^2=0 \quad\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] বা, 2p+q−r=02 p+q-r=0 [ ω2\omega^2 দ্বারা ভাগ করে] ∴2p=q+r\therefore \quad 2 p=q+r আবার, pω2+qω+rpω+qω2+r=−ω2\frac{p \omega^2+q \omega+r}{p \omega+q \omega^2+r}=-\omega^2 বা, pω2+qω+r=−pω3−qω4−rω2p \omega^2+q \omega+r=-p \omega^3-q \omega^4-r \omega^2 বা, pω2+qω+r+pω3+qω4+rω2=0p \omega^2+q \omega+r+p \omega^3+q \omega^4+r \omega^2=0 বা, pω2+qω+r+p+qω+rω2=0[∵ω3=1]p \omega^2+q \omega+r+p+q \omega+r \omega^2=0\left[\because \omega^3=1\right] বা, p(ω2+1)+2qω+r(1+ω2)=0p\left(\omega^2+1\right)+2 q \omega+r\left(1+\omega^2\right)=0 বা, −pω+2qω−2ω=0[∵1+ω+ω2=0]-p \omega+2 q \omega-2 \omega=0\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] বা, −p+2q−r=0-p+2 q-r=0 [ ω\omega দ্বারা ভাগ করে] ∴2q=r+p\therefore \quad 2 q=r+p অতএব, 2p=q+r,2q=r+p2 p=q+r, 2 q=r+p এবং 2r=p+q2 r=p+q. (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন