Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এমন একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার একটি মূল এককের একটি জটিল ঘনমূলের সমান। [গণিত] (i) নং সমীকরণের x এর মান 1, w ও [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] এবং, [গণিত] হলে, [গণিত] আবার, [গণিত] হলে, [গণিত] (iii) + (iii) নং + (iv) নং হতে পাই, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

P(x)=3P(x)=3 এমন একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার একটি মূল এককের একটি জটিল ঘনমূলের সমান। z=x−iy\mathrm{z}=\mathrm{x}-\mathrm{iy} একটি জটিল সংখ্যা।

উত্তর

−i3=x\sqrt[3]{-i}=x ⇒−i=x3\Rightarrow -i=x^{3} [ঘন করে] ⇒x3+i=0\Rightarrow x^{3}+i=0 ⇒x3−i2⋅i=0[i2=−1]\Rightarrow x^{3}-i^{2} \cdot i=0 \quad\left[i^{2}=-1\right] ⇒x3−i3=0\Rightarrow x^{3}-i^{3}=0 ⇒(x−i)(x2+ix+i2)=0\Rightarrow (x-i)\left(x^{2}+i x+i^{2}\right)=0 ⇒(x−i)(x2+ix−1)=0\Rightarrow (x-i)\left(x^{2}+i x-1\right)=0 হয়, x−i=0x-i=0 ∴x=i\therefore x=i আবার, x2+ix−1=0x^2+i x-1=0 ⇒x=−i±i2−4⋅1(−1)2⋅1\Rightarrow x=\frac{-i \pm \sqrt{i^2-4 \cdot 1(-1)}}{2 \cdot 1} ⇒x=−i±−1+42\Rightarrow x=\frac{-i \pm \sqrt{-1+4}}{2} ∴x=−i±32\therefore x=\frac{-i \pm \sqrt{3}}{2} ∴−i\therefore-i এর ঘনমূল হল i,j±32i, \frac{j \pm \sqrt{3}}{2}

উত্তর

দেওয়া আছে, z=x−iyz =x-i y ∴zˉ=x+iy\therefore \bar{z} =x+i y এখন, ∣zˉ+1∣+∣zˉ−1∣=4|\bar{z}+1|+|\bar{z}-1|=4 ⇒∣x+iy+1∣+∣x+iy−1∣=4\Rightarrow |x+i y+1|+|x+i y-1|=4 ⇒∣(x+1)+iy∣+∣(x−1)+iy∣=4\Rightarrow |(x+1)+i y|+|(x-1)+i y|=4 ⇒(x+1)2+y2+(x−1)2+y2=4\Rightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=4 ⇒(x+1)2+y2=4−(x−1)2+y2\Rightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}=4-\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}} ⇒((x+1)2+y2)2=(4−(x−1)2+y2)2\Rightarrow \left(\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}\right)^{2}=\left(4-\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\right)^{2} ⇒(x+1)2+y2=16−8(x−1)2+y2+(x−1)2+y2\Rightarrow (x+1)^{2}+y^{2}=16-8 \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+(x-1)^{2}+y^{2} ⇒(x+1)2+y2−16−(x−1)2−y2=−8(x−1)2+y2\Rightarrow (x+1)^{2}+y^{2}-16-(x-1)^{2}-y^{2}=-8 \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}} ⇒4⋅x⋅1−16=−8(x−1)2+y2\Rightarrow 4 \cdot x \cdot 1-16=-8 \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}} ⇒x−4=−2(x−1)2+y2\Rightarrow x-4=-2 \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}} ⇒(x−4)2=(−2(x−1)2+y2)2\Rightarrow (x-4)^{2}=\left(-2 \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\right)^{2} ⇒x2−8x+16=4(x2−2x+1+y2)\Rightarrow x^{2}-8 x+16=4\left(x^{2}-2 x+1+y^{2}\right) ⇒x2−8x+16=4x2−8x+4+y2\Rightarrow x^{2}-8 x+16=4 x^{2}-8 x+4+y^{2} ⇒x2−8x+16−4x2+8x−4−4y2=0\Rightarrow x^{2}-8 x+16-4 x^{2}+8 x-4-4 y^{2}=0 ⇒−3x2−4y2+12=0\Rightarrow-3 x^{2}-4 y^{2}+12=0 ⇒3x2+4y2−12=0\Rightarrow 3 x^{2}+4 y^{2}-12=0 ⇒3x2+4y2=12\Rightarrow 3 x^{2}+4 y^{2}=12 ∴x24+y23=1\therefore \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1 এটিই হল নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণ।

উত্তর

দেওয়া আছে, P(x)=3xP(x)=3^{x} ∴P(x)=\therefore P(x)= এমন একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার একটি মূল এককের একটি জটিল ঘনমূলের সমান। ∴P(x)=(1+x+x2)n\therefore P(x) =\left(1+x+x^{2}\right)^{n} ∴(1+x+k2)n=c6+c1x+c2x2+⋯+c2nx2n−c…(i)\therefore\left(1+x+k^{2}\right)^{n} =c_{6}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\cdots+c_{2 n} x^{2 n}-c \ldots (i) (i) নং সমীকরণের x এর মান 1, w ও w2w^2 বসিয়ে পাই, 3n=c0+c1+c2+c3+c4+c5+c6…(ii)3^{n}=c_{0}+c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4}+c_{5}+c_{6} \ldots (ii) এবং, x=ωx=\omega হলে, (1+ω+w2)2=c0+c1ω+c2ω2+c3ω3+c4w4+c5ω5+c6ω6+⋯\left(1+\omega+w^{2}\right)^{2}=c_{0}+c_{1} \omega+c_{2} \omega^{2}+c_{3} \omega^{3}+c_{4} w^{4}+c_{5} \omega^{5}+c_{6} \omega^{6}+\cdots ⇒0=c0+c1ω+c2ω2+c3+c4ω+e5ω5+c6+…(iii)\Rightarrow 0=c_{0}+c_{1} \omega+c_{2} \omega^{2}+c_{3}+c_{4} \omega+e_{5} \omega^{5}+c_{6} + \ldots (iii) আবার, x=ω2x=\omega^{2} হলে, ⇒(1+ω2+ω4)n=c0+c1ω2+c2ω4+c3ω6+c4ω8+c5ω10+c6ω10+⋯\Rightarrow\left(1+\omega^{2}+\omega^{4}\right)^{n}= c_{0}+c_{1} \omega^{2}+c_{2} \omega^{4}+c_{3} \omega^{6}+c_{4} \omega^{8}+c_{5} \omega^{10}+c_{6} \omega^{10}+\cdots ⇒0=c0+c1ω2+c2ω+c3+c4ω2+c5ω\Rightarrow 0=c_{0}+c_{1} \omega^{2}+c_{2} \omega+c_{3}+c_{4} \omega^{2}+c_{5} \omega +c6+⋯(iv)+c_{6}+\cdots (iv) (iii) + (iii) নং + (iv) নং হতে পাই, 3n=3c0+c1(1+w+w2)+c2(1+w+w2)+3c3+c4(1+w+w2)+c5(1+w+w2)+3c6+⋯3^{n}= 3 c_{0}+c_{1}\left(1+w+w^{2}\right)+c_{2}\left(1+w+w^{2}\right)+3 c_{3}+c_{4}\left(1+w+w^{2}\right)+c_{5}\left(1+w+w^{2}\right)+3 c_{6}+\cdots ⇒3n=3c0+3c3+3c6+⋯\Rightarrow 3^{n}= 3 c_{0}+3 c_{3}+3 c_{6}+\cdots ⇒3n=c0+c3+c6+⋯\Rightarrow 3^{n}=c_{0}+c_{3}+c_{6}+\cdots ⇒3n−1=c0+c3+c6+⋯\Rightarrow 3^{n-1} =c_{0}+c_{3}+c_{6}+\cdots ∴c0+c3+c6+⋯⋅=3n−1\therefore c_{0}+c_{3}+c_{6}+\cdots \cdot=3^{n-1} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন