Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] অথবা, [গণিত] অথবা, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] হলে , [গণিত] বা, [গণিত] বा, [গণিত] বा, [গণিত] বा, [গণিত] , [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বा, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] দ্বারা ভাগ করে। ] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [ [গণিত] দ্বারা ভাগ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অথবা, [গণিত] অথবা, [গণিত] . (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে দেখাও যে, অথবা, অথবা, .

উদ্দীপক

f(x)=a+bx+cx2;z=r(cos⁡θ+isin⁡θ).f(x)=a+b x+\mathrm{cx}^2 ; z=\mathrm{r}(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta) .

উত্তর

−7+24i=−16+24i+9=9+24i+16i2[∵i2=−1]=32+2⋅3⋅4i+(4i)2=(3+4i)2\begin{aligned}-7+24 \mathrm{i} & =-16+24 \mathrm{i}+9 \\ & =9+24 \mathrm{i}+16 \mathrm{i}^2\left[\because \mathrm{i}^2=-1\right] \\ & =3^2+2 \cdot 3 \cdot 4 \mathrm{i}+(4 \mathrm{i})^2=(3+4 i)^2\end{aligned} ∴−7+24i\therefore \quad-7+24 \mathrm{i} এর বর্গমূল =−7+24i=\sqrt{-7+24i} = =(3+4i)2=±(3+4i)= \sqrt{(3+4 i)^2}= \pm(3+4 i) নির্ণেয় বর্গমূল : ±(3+4i)\pm(3+4 \mathrm{i}).

উত্তর

দেওয়া আছে, z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=rcos⁡θ+irsin⁡θz=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r \cos \theta+i r \sin \theta ∴∣z∣=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=r2×1=r\therefore \quad|z|=\sqrt{r^2 \cos^2 \theta+r^2 \sin^2 \theta}=\sqrt{r^2\left(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta\right)}=\sqrt{r^2 \times 1}=r এখানে, ∣z∣=1∴r=1|z|=1 \therefore r=1 r=1,θ=2π3r=1, \theta=\frac{2 \pi}{3} হলে. z=1(cos⁡2π3+isin⁡2π3)=−12+i×32z=1\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}+i \times \frac{\sqrt{3}}{2} z2=(−12+i32)2=(−12)2+2(−12)i32+(i32)2=14−i32+i234=14−i32−34[∵i2=−1]=−12−32i\begin{aligned} z^2 & =\left(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\left(-\frac{1}{2}\right)^2+2\left(-\frac{1}{2}\right) i \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\ & =\frac{1}{4}-i \frac{\sqrt{3}}{2}+i^2 \frac{3}{4}=\frac{1}{4}-i \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4}\left[\because i^2=-1\right] \\ & =-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\end{aligned} z3=z2⋅z=(−12−32i)(−12+32i)=(−12)2−(32i)2=14−34i2=14+34[∵i2=−1]=1+34=44=1\z4=z3⋅z=1(−12+32i)=−12+32i∴1+z2+z4=1+(−12−32i)+(−12+32i)=1−12−12=1−2×12=1−1=0\begin{aligned} z^3=z^2 \cdot z & =\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right) \\ & =\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^2=\frac{1}{4}-\frac{3}{4} i^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left[\because i^2=-1\right] \\ & =\frac{1+3}{4}=\frac{4}{4}=1 \z^4=z^3 \cdot z & =1\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i \\ \therefore 1+z^2+z^4 & =1+\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right) \\ & =1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=1-2 \times \frac{1}{2}=1-1=0\end{aligned} বামপক্ষ =(a+b)2+(az+bz2)2+(az2+bz)2=(a+b)^2+\left(a z+b z^2\right)^2+\left(a z^2+b z\right)^2 =a2+2ab+b2+a2z2+2abz3+b2z4+a2z4+2abz3+b2z2=a2(1+z2+z4)+b2(1+z2+z4)+2ab+4abz3.=a2×0+b2×0+2ab+4ab×1\begin{aligned} & =a^2+2 a b+b^2+a^2 z^2+2 a b z^3+b^2 z^4+a^2 z^4+2 a b z^3+b^2 z^2 \\ & =a^2\left(1+z^2+z^4\right)+b^2\left(1+z^2+z^4\right)+2 a b+4 a b z^3 . \\ & =a^2 \times 0+b^2 \times 0+2 a b+4 a b \times 1\end{aligned} =0+0+2ab+4ab=6ab==0+0+2 \mathrm{ab}+4 \mathrm{ab}=6 \mathrm{ab}= ডানপক্ষ ∴(a+b)2+(az+bz2)2+(az2+bz)2=6ab\therefore \quad(a+b)^2+\left(a z+b z^2\right)^2+\left(a z^2+b z\right)^2=6 a b. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=a+bx+cx2f(x)=a+b x+c x^2 f(ω)=a+bω+cω2\f(1ω)=f(ω2ω3)=f(ω21)[∵ω3=1]=f(ω2)=a+bω2+c(ω2)2=a+bω2+cω3⋅ω=a+bω2+cω[∵ω3=1]\begin{aligned} f(\omega) & =\mathrm{a}+\mathrm{b} \omega+\mathrm{c} \omega^2 \f\left(\frac{1}{\omega}\right) & =f\left(\frac{\omega^2}{\omega^3}\right)=f\left(\frac{\omega^2}{1}\right)\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =f\left(\omega^2\right)=\mathrm{a}+\mathrm{b} \omega^2+\mathrm{c}\left(\omega^2\right)^2 \\ & =\mathrm{a}+\mathrm{b} \omega^2+\mathrm{c} \omega^3 \cdot \omega \\ & =\mathrm{a}+\mathrm{b} \omega^2+\mathrm{c} \omega \quad\left[\because \omega^3=1\right]\end{aligned} এখন, {f(ω)}3+{f(1ω)}3=0\{f(\omega)\}^3+\left\{f\left(\frac{1}{\omega}\right)\right\}^3=0 হলে , (a+bω+cω2)3+(a+bω2+cω)3=0\left(a+b \omega+c \omega^2\right)^3+\left(a+b \omega^2+ c \omega\right)^3=0 বা, (a+bω+cω2)3=−(a+bω2+cω)3\left(a+b \omega+c \omega^2\right)^3=-\left(a+b \omega^2+c \omega\right)^3 বा, (a+bω+cω2a+bω2+cω)3=−1\left(\frac{a+b \omega+c \omega^2}{a+b \omega^2+c \omega}\right)^3=-1 বा, a+bω+cω2a+bω2+cω=−13\frac{a+b \omega+c \omega^2}{a+b \omega^2+c \omega}=\sqrt[3]{-1} বा, a+bω+cω2a+bω2+cω=−1,−ω\frac{a+b \omega+c \omega^2}{a+b \omega^2+c \omega}=-1,-\omega, ω2\omega^2 অর্থাৎ, a+bω+cω2a+bω2+cω=−1\frac{a+b \omega+c \omega^2}{a+b \omega^2+c \omega}=-1 বা, a+bω+cω2=−a−bω2−cω\quad a+b \omega+c \omega^2=-a-b \omega^2-c \omega বা, 2a+b(ω+ω2)+c(ω2+ω)=02 a+b\left(\omega+\omega^2\right)+c\left(\omega^2+\omega\right)=0 বा, 2a−b−c=0[∵1+ω+ω2=0]2 a-b-c=0 \quad\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] বা, 2a=b+c2 a=b+c ∴a=12(b+c)\therefore \quad a=\frac{1}{2}(b+c) আবার, a+bω+cω2a+bω2+cω=−ω\frac{a+b \omega+c \omega^2}{a+b \omega^2+c \omega}=-\omega বা, a+bω+cω2=−aω−bω3−cω2a+b \omega+c \omega^2=-a \omega-b \omega^3-c \omega^2 বা, a(1+ω)+b(ω+ω3)+c(ω2+ω2)=0a(1+\omega)+b\left(\omega+\omega^3\right)+c\left(\omega^2+\omega^2\right)=0 বা, −ω2a+b(ω+1)+2cω2=0[1+ω+ω2=0-\omega^2 a+b(\omega+1)+2 c \omega^2=0\left[1+\omega+\omega^2=0\right. এবং ω3=1]\left.\omega^3=1\right] বা, −ω2a−bω2+2cω2=0-\omega^2 a-b \omega^2+2 c \omega^2=0 বা, −a−b+2c=0[ω2-a-b+2 c=0\left[\omega^2\right. দ্বারা ভাগ করে। ] বা, 2c=a+b2 c=a+b ∴c=12(a+b)\therefore \quad c=\frac{1}{2}(a+b) আবার, a+b(ω+cω2a+bω2+cω=−ω2\frac{a+b\left(\omega+c \omega^2\right.}{a+b \omega^2+c \omega}=-\omega^2 বা, a+bω+cω2=−aω2−bω4−cω3a+b \omega+c \omega^2=-a \omega^2-b \omega^4-c \omega^3 বা, a(1+ω2)+b(ω+ω4)+c(ω2+ω3)=0a\left(1+\omega^2\right)+b\left(\omega+\omega^4\right)+c\left(\omega^2+\omega^3\right)=0 বা, a(1+ω2)+b(ω+ω)+c(ω2+1)=0[∵ω3=1]\mathrm{a}\left(1+\omega^2\right)+\mathrm{b}(\omega+\omega)+\mathrm{c}\left(\omega^2+1\right)=0\left[\because \omega^3=1\right] বা, −aω+2bω−cω=0[∵1+ω+ω2=0]-a \omega+2 b \omega-c \omega=0\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] বা, −a+2b−c=0-a+2 b-c=0 [ ω\omega দ্বারা ভাগ করে] বা, ab=c+a∴b=12(c+a)\mathrm{ab}=\mathrm{c}+\mathrm{a} \therefore \mathrm{b}=\frac{1}{2}(\mathrm{c}+\mathrm{a}) বা, 2 b=c+a∴b=12(c+a)2 \mathrm{~b}=\mathrm{c}+\mathrm{a} \therefore \mathrm{b}=\frac{1}{2}(\mathrm{c}+\mathrm{a}) ∴a=12(b+c)\therefore \quad a=\frac{1}{2}(b+c) অথবা, b=12(c+a)b=\frac{1}{2}(c+a) অথবা, c=12(a+b)c=\frac{1}{2}(a+b). (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন